Question

已知正方形ABCD的邊長為2，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）從C、D、E、F、G、H這六個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，記這兩個(gè)點(diǎn)之間的距離的平方為ξ，求概率P（ξ≤4）．
（2）在正方形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一點(diǎn)P，求滿足|PE|＜2的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型,互斥事件的概率加法公式

專題：計(jì)算題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）從C、D、E、F、G、H這六個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，共有

C

2 6

=15種，其中DE，DF，CE，CH兩個(gè)點(diǎn)之間的距離的平方為5，不滿足題意，即可得出結(jié)論．
（2）根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式，分別求出正方形的面積和滿足|PE|＜2的正方形內(nèi)部的點(diǎn)P的集合的面積即可得出；

解答： 解：（1）從C、D、E、F、G、H這六個(gè)點(diǎn)中，隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)，共有

C

2 6

=15種，其中DE，DF，CE，CH兩個(gè)點(diǎn)之間的距離的平方為5，不滿足題意，
∴P（ξ≤4）=1-

4

15

=

11

15

…（6分）
（2）這是一個(gè)幾何概型．所有點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域是正方形ABCD的內(nèi)部，其面積是2×2=4．
滿足|PE|＜2的點(diǎn)P構(gòu)成的平面區(qū)域是以E為圓心，2為半徑的圓的內(nèi)部與正方形ABCD內(nèi)部的公共部分，它可以看作是由一個(gè)以E為圓心、2為半徑、圓心角為

π

3

的扇形的內(nèi)部與兩個(gè)直角邊分別為1和

3

的直角三角形內(nèi)部構(gòu)成．
其面積是

1

2

×

π

3

×22+2×

1

2

×1×

3

=

2π

3

+

3

．
所以滿足|PE|＜2的概率為

2π 3 + 3

4

=

π

6

+

3

4

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何概型，正確求出試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的面積和長度以及要求的事件的區(qū)域的面積和長度是解題的關(guān)鍵．