Question

已知實(shí)數(shù)t，若存在t∈[

1

2

，3]使得不等式|t-1|-|2t-5|≥|x-1|+|x-2|成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：通過t的范圍化簡|t-1|-|2t-5|，求出最小值，通過轉(zhuǎn)化已知的絕對(duì)值不等式為|x-1|+|x-2|≤

3

2

，利用絕對(duì)值不等式的解法求解即可．

解答： 解：∵t∈[

1

2

，3]，
∴|t-1|-|2t-5|=

-t+4，t≥ 5 2 3t-6，1＜t＜ 5 2 t-4，t≤1

，（4分）
可得其最大值為

3

2

．（6分）
解不等式|x-1|+|x-2|≤

3

2

，
當(dāng)x≥2時(shí)，表不等式化為：x-1+x-2≤

3

2

，可得2≤x≤

9

4

，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，不等式化為：1-x+x-2≤

3

2

，不等式恒成立，
當(dāng)x＜1時(shí)，不等式化為：1-x+2-x≤

3

2

，可得

3

4

≤x＜1，
綜上可得解集為[

3

4

，

9

4

]．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，等價(jià)轉(zhuǎn)化以及存在性問題的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．