Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=

2(n=1) 2an(n≥2)

．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）設b_n=

Sn+1

(Sn+lognSn)(Sn+1+log2Sn+1)

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ根據）n≥2時 a_n=（S_n-S_n-1）得出S_n=2S_n-1，S₁=2為等比數列，求出Sn=2n進一步求出a_n；
（Ⅱ）先由（Ⅰ）求出b_n═

1

2n+n

-

1

2n+1+n+1

寫出T_n=

1

2+1

-

1

22+2

+

1

22+2

-

1

23+3

+…+

1

2n+n

-

1

2n+1+n+1

得出值．

解答： 解：（Ⅰ）n≥2時，S_n=2a_n=2（S_n-S_n-1），
∴S_n=2S_n-1，S₁=2
所以Sn=2n
an=

2n-1(n≥2) 2(n=1)

（Ⅱ）bn=

2n+1

(2n+n)(2n+1+n+1)

=

1

2n+n

-

1

2n+1+n+1

T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2+1

-

1

22+2

+

1

22+2

-

1

23+3

+…+

1

2n+n

-

1

2n+1+n+1

=

1

3

-

1

2n+1+n+1

點評：本題考查數列通項公式的求法和數列前n項和的求法，求和關鍵是求出通項確定方法，屬于一道中檔題．