Question

已知函數(shù)f（x）=2

2

sin

π

8

xcos

π

8

x+2

2

cos²

π

8

x-

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）圖象上的兩點P，Q的橫坐標依次為2，4，O為坐標原點，求△OPQ的外接圓的面積．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）借助于二倍角公式和輔助角公式化簡函數(shù)解析式為：f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

），從而根據(jù)周期公式求解周期，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求解單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）確定f（2）、f（4）的值，得到P(2，

2

)，Q(4，-

2

)，然后利用余弦定理求解
∠POQ的大小，最后，根據(jù)正弦定理的推論求解．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=2

2

sin

π

8

xcos

π

8

x+

2

(2cos2

π

8

x-1)=

2

sin

π

4

x+

2

cos

π

4

x=2sin(

π

4

x+

π

4

)，
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）
∴T=

2π

π 4

=8． 
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為8． 
由2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得8k-3≤x≤8k+1（k∈Z），
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[8k-3，8k+1]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵f(2)=2sin(

π

2

+

π

4

)=2cos

π

4

=

2

，
f(4)=2sin(π+

π

4

)=-2sin

π

4

=-

2

，
∴P(2，

2

)，Q(4，-

2

)，
∴|OP|=

6

，|PQ|=2

3

，|OQ|=3

2

從而cos∠POQ=

OP • OQ

| OP |•| OQ |

=

2×4+ 2 ×(- 2 )

6 ×3 2

=

3

3

，
∴sin∠POQ=

1-cos2∠POQ

=

6

3

，
設△OPQ的外接圓的半徑為R，
由

|PQ|

sin∠POQ

=2R⇒R=

|PQ|

2sin∠POQ

=

2 3

2× 6 3

=

3 2

2

，
∴△OPQ的外接圓的面積S=πR2=

9

2

π．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二倍角公式、輔助角公式、解三角形等知識，屬于綜合題目．