Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax-a．
（1）若a＞0，f（x）≥0對(duì)一切x∈R恒成立，求a的最大值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+

a

ex

，且A（x₁，y₁）、B（x₁，y₂）（x₁≠x₂）是曲線y=g（x）上任意兩點(diǎn)，若對(duì)任意a≤-1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）f（x）≥0對(duì)一切x∈R恒成立，等價(jià)于f（x）_min≥0，利用導(dǎo)數(shù)可得最小值；
（2）設(shè)x₁，x₂是任意的兩實(shí)數(shù)，且x₁g（x₁）-mx₁，令函數(shù)F（x）=g（x）-mx，則F（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，F(xiàn)′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，分離出參數(shù)m后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可；

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x-a（x+1），∴f′（x）=e^x-a，
∵a＞0，f′（x）=e^x-a=0的解為x=lna，
∴f（x）_min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，
∵f（x）≥0對(duì)一切x∈R恒成立，
∴-alna≥0，∴l(xiāng)na≤0，∴0＜a≤1，即a_max=1．
（2）設(shè)x₁，x₂是任意的兩實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂，
則

g(x2)-g(x1)

x2-x1

＞m，故g（x₂）-mx₂＞g（x₁）-mx₁，
∴不妨令函數(shù)F（x）=g（x）-mx，則F（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
∴F′（x）=g′（x）-m≥0恒成立，
∴對(duì)任意的a≤-1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
g′（x）=e^x-a-

a

ex

≥2

ex•(- a ex )

-a=-a+2

-a

=(

-a

+1)2-1≥3，
故m≤3；

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題、導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，該題綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)能力要求較高．