Question

設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c均為正實(shí)數(shù)．
（Ⅰ）證明：a³+b³≥a²b+ab²；
（Ⅱ）當(dāng)a+b+c=1時(shí)，證明：（

1

a

-1）（

1

b

-1）（

1

c

-1）≥8．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：選作題,不等式

分析：（Ⅰ）證明使a³+b³≥a²b+ab²成立的充分條件成立；
（Ⅱ）將a+b+c=1代入，再利用基本不等式，即可證明結(jié)論．

解答： 證明：（Ⅰ）要證明a³+b³≥a²b+ab² 成立，
只需證（a+b）（a²-ab+b²）≥ab（a+b）成立．
又因?yàn)閍＞0，故只需證a²-ab+b²≥ab成立，
則（a-b）²≥0顯然成立，由此命題得證；
（Ⅱ）∵a+b+c=1，
∴（

1

a

-1）（

1

b

-1）（

1

c

-1）=

b+c

a

•

a+c

b

•

a+b

c

≥

2 bc

a

•

2 ac

b

•

2 ab

c

=8，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查用分析法和綜合法證明不等式，屬于中檔題．