如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，P₁，P₂，P₃，P₄，P₅是△DEF邊上的5個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)按要求完成下列各題：
（1）試證明三角形△ABC為直角三角形；
（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；
（3）畫一個(gè)三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)為P₁，P₂，P₃，P₄，P₅中的3個(gè)格點(diǎn)并且與△ABC相似（要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明）．

深化理解（本小題滿分9分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），A是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，M是線段AC的中點(diǎn).把線段AM進(jìn)行以A為旋轉(zhuǎn)中心、向順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°的旋轉(zhuǎn)變換得到AB.過B作軸的垂線、過點(diǎn)C作軸的垂線，兩直線交于點(diǎn)D，直線DB交軸于一點(diǎn)E.

設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
（1）若=3，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為  ▲  ，若=-3，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為  ▲  ；
（2）若＞0，△BCD的面積為，則為何值時(shí)，？
（3）是否存在，使得以B、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求此時(shí)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

寬與長(zhǎng)的比是的矩形叫黃金矩形．心理測(cè)試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感．現(xiàn)將小波同學(xué)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，折疊黃金矩形的方法歸納如下（如圖所示）：

第一步：作一個(gè)正方形ABCD；
第二步：分別取AD，BC的中點(diǎn)M，N，連接MN；
第三步：以N為圓心，ND長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC的延長(zhǎng)線于E；
第四步：過E作EF⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于F．
請(qǐng)你根據(jù)以上作法，證明矩形DCEF為黃金矩形．

（1）如圖，已知，求的值；
（2）如果，那么成立嗎？為什么？

一般認(rèn)為，如果一個(gè)人的肚臍以上的高度與肚臍以下的高度符合黃金分割，則這個(gè)人好看。如圖，是一個(gè)參加空姐選拔活動(dòng)的選手情況，那么她應(yīng)該穿多高的鞋子好看？（精確到1cm）（參考數(shù)據(jù):黃金分割數(shù)：）

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以acm/s(a＞0)的速度沿BA勻速向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q同時(shí)以1cm/s的速度從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB勻速向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；
(2)設(shè)點(diǎn)M在AC上，四邊形PQCM為平行四邊形．
①若a＝，求PQ的長(zhǎng)；
②是否存在實(shí)數(shù)a，使得點(diǎn)P在∠ACB的平分線上？若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明
理由．

如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)， PO的延長(zhǎng)線交BC于Q.
（1）求證：△ P O D ≌ △Q O B ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1厘米/秒的速度向D運(yùn)動(dòng)（不與D重合）.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用t表示PD的長(zhǎng)；并求t為何值時(shí)，四邊形P B Q D是菱形．

圖1中所示的遮陽傘，傘柄垂直于地面，其示意圖如圖2.當(dāng)傘收緊時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合（此時(shí)AC=PN+CN）；當(dāng)傘慢慢撐開時(shí)，動(dòng)點(diǎn)由向移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)到過點(diǎn)時(shí)，傘張得最開.已知傘在撐開的過程中，總有分米，分米，分米

（1）求長(zhǎng)的取值范圍；  （2）當(dāng)時(shí)，求的值；
（3）在陽光垂直照射下,傘張得最開，求傘下的陰影(假定為圓面)面積為 (結(jié)果保留).

數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，為邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的垂直平分線交邊于，交邊的延長(zhǎng)線于.當(dāng)時(shí)，與的比值是多少？
經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過作直線平行于交，分別于，，如圖，則可得：，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/b2/a/la4ww1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.可求出和的值，進(jìn)而可求得與的比值.

(1) 請(qǐng)按照小明的思路寫出求解過程.
(2) 小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說明理由.

如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，按要求畫出△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂：(1)將△ABC先向右平移4個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到△A₁B₁C₁；(2)以圖中的點(diǎn)O為位似中心，將△A₁B₁C₁作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△A₂B₂C₂．