Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y＝ax2﹣2x+c與x軸交于點A（1，0），點B（﹣3，0），與y軸交于點C，連接BC，點P在第二象限的拋物線上，連接PC、PO，線段PO交線段BC于點 E．

（1）求拋物線的表達式；

（2）若△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，當＝時，求點P的坐標；

（3）已知點C關于拋物線對稱軸的對稱點為點N，連接BN，點H在x軸上，當∠HCB＝∠NBC時，

①求滿足條件的所有點H的坐標；

②當點H在線段AB上時，點Q是線段BH外一點，QH＝1，連接BQ，將線段BQ繞著點Q順時針旋轉90°，得到線段QM，連接MH，直接寫出線段MH的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3；(2)點P的坐標是(﹣2，3)或(﹣1，4)；(3)①點H的坐標是(﹣1，0)或(﹣9，0)；②2﹣≤MH≤2+．

【解析】

(1)先把點A(1，0)，點B(﹣3，0)代入拋物線y=ax2﹣2x+c中列方程組，解方程組可得a和c的值，從而得拋物線的表達式；

(2)先根據待定系數法求BC的解析式為：y=x+3，根據同高三角形面積的比等于對應底邊的比，可得，證明△OEH∽△OPG，得，可設E(3m，3m+3)，則P(5m，﹣25m2﹣10m+3)，代入比例式可得方程，解出即可得結論；

(3)①由對稱得：N(﹣2，3)，有兩種情況：如圖2，i)當BN∥CH1時，∠H1CB=∠NBC，根據平移的性質可得點H1的坐標；ii)當∠H2CB=∠NBC，設H2(n，0)，直線CH2與BN交于點M，確定BN和CH2的解析式，利用方程組的解可得M的坐標(，)，根據兩點的距離公式利用BM=CM，列方程可得結論；

②如圖3，當Q在x軸下方時，且MH⊥x軸時，MH最小，作輔助線，構建矩形MFGH是，證明△BGQ≌△QFM(AAS)，得GQ=GH=FM，可得△QHG是等腰直角三角形，由斜邊為1可得QG=GH=，利用全等三角形的性質與線段和與差可得結論；同理如圖4，當Q在x軸上方時，且MH⊥x軸時，MH最大，同理可得最大值MH的長，從而得結論．

(1)把點A(1，0)，點B(﹣3，0)代入拋物線y=ax2﹣2x+c中，

得：，

解得：，

∴拋物線的表達式為：y=﹣x2﹣2x+3；

(2)如圖1，過P作PG⊥y軸于G，過E作EH⊥y軸于H，

當x=0時，y=3，

∴C(0，3)，

設BC的解析式為：y=kx+b，

則，解得，

∴BC的解析式為：y=x+3，

∵△PCE的面積為S1，△OCE的面積為S2，且，

∴，

∵EH∥PG，

∴△OEH∽△OPG，

∴，

∴設E(3m，3m+3)，則P(5m，﹣25m2﹣10m+3)，

∴，

∴25m2+15m+2=0，

(5m+2)(5m+1)=0，

m1=，m2=，

當m=時，5m=﹣2，則P(﹣2，3)，

當m=時，5m=﹣1，則P(﹣1，4)，

綜上，點P的坐標是(﹣2，3)或(﹣1，4)；

(3)①由對稱得：N(﹣2，3)，

∵∠HCB=∠NBC，

如圖2，連接CN，有兩種情況：

i)當BN∥CH1時，∠H1CB=∠NBC，

∵CN∥AB，

∴四邊形CNBH1是平行四邊形，

∴，

∴H1(﹣1，0)；

ii)當∠H2CB=∠NBC，

設H2(n，0)，直線CH2與BN交于點M，

∴BM=CM，

∵B(﹣3，0)，N(﹣2，3)，

∴同理可得BN的解析式為：y=3x+9，

設CH2的解析式為：y=k1x+b1，

則，解得：，

∴設CH2的解析式為：y=+3，

解方程組，得，

∴M(，)，

∵BM=CM，

∴，

解得：n=﹣9或﹣1(舍)，

∴H2(﹣9，0)，

綜上，點H的坐標是(﹣1，0)或(﹣9，0)；

②如圖3，當Q在x軸下方時，且MH⊥x軸時，MH最小，過Q作QG⊥x軸，過M作MF⊥QG于F，則四邊形MFGH是矩形，

∴FM=GH，FG=MH，

∵∠BQM=∠F=90°，

∴∠BQG+∠GQM=∠FMQ+∠GQM=90°，

∴∠BQG=∠FMQ，

∵BQ=QM，∠BGQ=∠F=90°，

∴△BGQ≌△QFM(AAS)，

∴FM=GQ，BG=FQ，

∴GQ=FM=GH，

∵QH=1，

∴QG=GH=，

∴MH=FG=FQ﹣QG=BG﹣GH=2﹣﹣=2﹣；

如圖4，當Q在x軸上方時，且MH⊥x軸時，MH最大，過Q作QG⊥x軸，作QF⊥MH于F，則四邊形QFHG是矩形，

∴FQ=GH，GQ=FH，

同理得△BGQ≌△MFQ(AAS)，

∴QG=FQ=GH，BG=MF，

∵QH=1，

∴QG=GH=，

∴MH=FM+FH=BG+GH=2++=2+；

∴MH的取值范圍是2﹣≤MH≤2+．