【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線y=ax2﹣2x+c與x軸交于點A(1,0),點B(﹣3,0),與y軸交于點C,連接BC,點P在第二象限的拋物線上,連接PC、PO,線段PO交線段BC于點 E.
(1)求拋物線的表達式;
(2)若△PCE的面積為S1,△OCE的面積為S2,當=時,求點P的坐標;
(3)已知點C關于拋物線對稱軸的對稱點為點N,連接BN,點H在x軸上,當∠HCB=∠NBC時,
①求滿足條件的所有點H的坐標;
②當點H在線段AB上時,點Q是線段BH外一點,QH=1,連接BQ,將線段BQ繞著點Q順時針旋轉90°,得到線段QM,連接MH,直接寫出線段MH的取值范圍.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)點P的坐標是(﹣2,3)或(﹣1,4);(3)①點H的坐標是(﹣1,0)或(﹣9,0);②2﹣≤MH≤2+.
【解析】
(1)先把點A(1,0),點B(﹣3,0)代入拋物線y=ax2﹣2x+c中列方程組,解方程組可得a和c的值,從而得拋物線的表達式;
(2)先根據待定系數法求BC的解析式為:y=x+3,根據同高三角形面積的比等于對應底邊的比,可得,證明△OEH∽△OPG,得,可設E(3m,3m+3),則P(5m,﹣25m2﹣10m+3),代入比例式可得方程,解出即可得結論;
(3)①由對稱得:N(﹣2,3),有兩種情況:如圖2,i)當BN∥CH1時,∠H1CB=∠NBC,根據平移的性質可得點H1的坐標;ii)當∠H2CB=∠NBC,設H2(n,0),直線CH2與BN交于點M,確定BN和CH2的解析式,利用方程組的解可得M的坐標(,),根據兩點的距離公式利用BM=CM,列方程可得結論;
②如圖3,當Q在x軸下方時,且MH⊥x軸時,MH最小,作輔助線,構建矩形MFGH是,證明△BGQ≌△QFM(AAS),得GQ=GH=FM,可得△QHG是等腰直角三角形,由斜邊為1可得QG=GH=,利用全等三角形的性質與線段和與差可得結論;同理如圖4,當Q在x軸上方時,且MH⊥x軸時,MH最大,同理可得最大值MH的長,從而得結論.
(1)把點A(1,0),點B(﹣3,0)代入拋物線y=ax2﹣2x+c中,
得:,
解得:,
∴拋物線的表達式為:y=﹣x2﹣2x+3;
(2)如圖1,過P作PG⊥y軸于G,過E作EH⊥y軸于H,
當x=0時,y=3,
∴C(0,3),
設BC的解析式為:y=kx+b,
則,解得,
∴BC的解析式為:y=x+3,
∵△PCE的面積為S1,△OCE的面積為S2,且,
∴,
∵EH∥PG,
∴△OEH∽△OPG,
∴,
∴設E(3m,3m+3),則P(5m,﹣25m2﹣10m+3),
∴,
∴25m2+15m+2=0,
(5m+2)(5m+1)=0,
m1=,m2=,
當m=時,5m=﹣2,則P(﹣2,3),
當m=時,5m=﹣1,則P(﹣1,4),
綜上,點P的坐標是(﹣2,3)或(﹣1,4);
(3)①由對稱得:N(﹣2,3),
∵∠HCB=∠NBC,
如圖2,連接CN,有兩種情況:
i)當BN∥CH1時,∠H1CB=∠NBC,
∵CN∥AB,
∴四邊形CNBH1是平行四邊形,
∴,
∴H1(﹣1,0);
ii)當∠H2CB=∠NBC,
設H2(n,0),直線CH2與BN交于點M,
∴BM=CM,
∵B(﹣3,0),N(﹣2,3),
∴同理可得BN的解析式為:y=3x+9,
設CH2的解析式為:y=k1x+b1,
則,解得:,
∴設CH2的解析式為:y=+3,
解方程組,得,
∴M(,),
∵BM=CM,
∴,
解得:n=﹣9或﹣1(舍),
∴H2(﹣9,0),
綜上,點H的坐標是(﹣1,0)或(﹣9,0);
②如圖3,當Q在x軸下方時,且MH⊥x軸時,MH最小,過Q作QG⊥x軸,過M作MF⊥QG于F,則四邊形MFGH是矩形,
∴FM=GH,FG=MH,
∵∠BQM=∠F=90°,
∴∠BQG+∠GQM=∠FMQ+∠GQM=90°,
∴∠BQG=∠FMQ,
∵BQ=QM,∠BGQ=∠F=90°,
∴△BGQ≌△QFM(AAS),
∴FM=GQ,BG=FQ,
∴GQ=FM=GH,
∵QH=1,
∴QG=GH=,
∴MH=FG=FQ﹣QG=BG﹣GH=2﹣﹣=2﹣;
如圖4,當Q在x軸上方時,且MH⊥x軸時,MH最大,過Q作QG⊥x軸,作QF⊥MH于F,則四邊形QFHG是矩形,
∴FQ=GH,GQ=FH,
同理得△BGQ≌△MFQ(AAS),
∴QG=FQ=GH,BG=MF,
∵QH=1,
∴QG=GH=,
∴MH=FM+FH=BG+GH=2++=2+;
∴MH的取值范圍是2﹣≤MH≤2+.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在梯形中,,,,.P為線段上的一動點,且和B、C不重合,連接,過點P作交射線于點E.
聰聰根據學習函數的經驗,對這個問題進行了研究:
(1)通過推理,他發(fā)現,請你幫他完成證明.
(2)利用幾何畫板,他改變的長度,運動點P,得到不同位置時,、的長度的對應值:
當時,得表1:
… | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | |
… | 0.83 | 1.33 | 1.50 | 1.33 | 0.83 | … |
當時,得表2:
… | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … | |
… | 1.17 | 2.00 | 2.50 | 2.67 | 2.50 | 2.00 | 1.17 | … |
這說明,點P在線段上運動時,要保證點E總在線段上,的長度應有一定的限制.
①填空:根據函數的定義,我們可以確定,在和的長度這兩個變量中,_____的長度為自變量,_____的長度為因變量;
②設,當點P在線段上運動時,點E總在線段上,求m的取值范圍.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某商場新進一批商品,每個成本價25元,銷售一段時間發(fā)現銷售量y(個)與銷售單價x(元/個)之間成一次函數關系,如下表:
(1)求y與x之間的函數關系式;
(2)若該商品的銷售單價在45元~80元之間浮動,
①銷售單價定為多少元時,銷售利潤最大?此時銷售量為多少?
②商場想要在這段時間內獲得4550元的銷售利潤,銷售單價應定為多少元?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,∠A=∠B,AE=BE,點D在AC邊上,∠1=∠2,AE和BD相交于點O.
(1)求證:△AEC≌△BED;
(2)若∠1=42°,求∠BDE的度數.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于A(﹣2,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點C,且OC=2OA.
(1)試求拋物線的解析式;
(2)直線y=kx+1(k>0)與y軸交于點D,與拋物線交于點P,與直線BC交于點M,記m=,試求m的最大值及此時點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,點Q是x軸上的一個動點,點N是坐標平面內的一點,是否存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形?如果存在,請求出點N的坐標;如果不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,矩形中,相交于點O,過點B作交于點F,交于點M,過點D作交于點E,交于點N,連接.則下列結論:
①;②;
③;④當時,四邊形是菱形.
其中,正確結論的個數是( )
A.1個B.2個C.3個D.4個
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖 ,在平面直角坐標系中,的直角頂點在第一象限,在軸上, 且,,是的角平分線.拋物線過點,,點 在直線 上方的拋物線上,連接,,.
(1)填空:拋物線解析式為 ,直線解析式為 ;
(2)當時,求的值;
(3)如圖,作軸于點,連接,若與的面積相等,求點的坐標
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