【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)與x軸交于A(﹣2,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點C,且OC=2OA.
(1)試求拋物線的解析式;
(2)直線y=kx+1(k>0)與y軸交于點D,與拋物線交于點P,與直線BC交于點M,記m=,試求m的最大值及此時點P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,點Q是x軸上的一個動點,點N是坐標(biāo)平面內(nèi)的一點,是否存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形?如果存在,請求出點N的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣(x+2)(x﹣4)或y=﹣x2+x+4或y=﹣(x﹣1)2+.(2)最大值為,此時P(2,4).(3)(,3)或(6,﹣3).
【解析】試題分析:(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+2)(x﹣4),根據(jù)已知條件求得點C的坐標(biāo)代入解析式求得a值,即可得拋物線的解析式;(2)作PE⊥x軸于E,交BC于F,易證△CMD∽△FMP,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得m=,設(shè)P(n,﹣n2+n+4),則F(n,﹣n+4),用n表示出PF的長,從而得到m、n的二次函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可;(3)存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形,分DP是矩形的邊和DP是矩形的對角線兩種情況求點N的坐標(biāo).
試題解析:
(1)因為拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(﹣2,0)、B(4,0)兩點,設(shè)y=a(x+2)(x﹣4),
∵OC=2OA,OA=2,
∴C(0,4),代入拋物線的解析式得到a=﹣,
∴y=﹣(x+2)(x﹣4)或y=﹣x2+x+4或y=﹣(x﹣1)2+.
(2)如圖1中,作PE⊥x軸于E,交BC于F.
∵CD∥PE,
∴△CMD∽△FMP,
∴m==,
∵直線y=kx+1(k>0)與y軸交于點D,則D(0,1),
∵BC的解析式為y=﹣x+4,
設(shè)P(n,﹣n2+n+4),則F(n,﹣n+4),
∴PF=﹣n2+n+4﹣(﹣n+4)=﹣(n﹣2)2+2,
∴m==﹣(n﹣2)2+,
∵﹣<0,
∴當(dāng)n=2時,m有最大值,最大值為,此時P(2,4).
(3)存在這樣的點Q、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是矩形.
①當(dāng)DP是矩形的邊時,有兩種情形,
a、如圖2﹣1中,四邊形DQNP是矩形時,
有(2)可知P(2,4),代入y=kx+1中,得到k=,
∴直線DP的解析式為y=x+1,可得D(0,1),E(﹣,0),
由△DOE∽△QOD可得=,
∴OD2=OEOQ,
∴1=OQ,
∴OQ=,
∴Q(,0).
根據(jù)矩形的性質(zhì),將點P向右平移個單位,向下平移1個單位得到點N,
∴N(2+,4﹣1),即N(,3)
b、如圖2﹣2中,四邊形PDNQ是矩形時,
∵直線PD的解析式為y=x+1,PQ⊥PD,
∴直線PQ的解析式為y=﹣x+,
∴Q(8,0),
根據(jù)矩形的性質(zhì)可知,將點D向右平移6個單位,向下平移4個單位得到點N,
∴N(0+6,1﹣4),即N(6,﹣3).
②當(dāng)DP是對角線時,設(shè)Q(x,0),則QD2=x2+1,QP2=(x﹣2)2+42,PD2=13,
∵Q是直角頂點,
∴QD2+QP2=PD2,
∴x2+1+(x﹣2)2+16=13,
整理得x2﹣2x+4=0,方程無解,此種情形不存在,
綜上所述,滿足條件的點N坐標(biāo)為(,3)或(6,﹣3).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)一批節(jié)能燈,已知1只A型節(jié)能燈和3只B型節(jié)能燈共需26元;3只A型節(jié)能燈和2只B型節(jié)能燈共需29元.
(1)求一只A型節(jié)能燈和一只B型節(jié)能燈的售價各是多少元;
(2)學(xué)校準(zhǔn)備購進(jìn)這兩種型號的節(jié)能燈共50只,并且A型節(jié)能燈的數(shù)量不多于B型節(jié)能燈數(shù)量的3倍,請設(shè)計出最省錢的購買方案,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某報社為了解溫州市民對大范圍霧霾天氣的成因、影響以及應(yīng)對措施的看法,做了一次抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果共分為四個等級:A.非常了解:B.比較了解:C.基本了解;D.不了解.根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果,繪制了不完整的三種統(tǒng)計圖表.請結(jié)合統(tǒng)計圖表,回答下列問題:
對霧霾的了解程度 | 百分比 | |
A | 非常了解 | 5% |
B | 比較了解 | m% |
C | 基本了解 | 45% |
D | 不了解 | n% |
(1)本次參與調(diào)查的市民共有________人,m=________,n=________.
(2)統(tǒng)計圖中扇形D的圓心角是________度.
(3)某校準(zhǔn)備開展關(guān)于霧霾的知識競賽,九(3)班鄭老師欲從2名男生和1名女生中任選2人參加比賽,求恰好選中“1男1女”的概率(要求列表或畫樹狀圖).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】李老師為了解某校學(xué)生完成數(shù)學(xué)課前預(yù)習(xí)的具體情況,對部分學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為四類,A:很好;B:較好;C:一般;D:較差.繪制成如下統(tǒng)計圖.
(1)李老師一共調(diào)查了多少名同學(xué)?并將下面條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整.
(2)若該校有1000名學(xué)生,則數(shù)學(xué)課前預(yù)習(xí)“很好”和“較好”總共約多少人?
(3)為了共同進(jìn)步,李老師想從被調(diào)查的A類和D類學(xué)生中各隨機(jī)選取一位同學(xué)進(jìn)行“一幫一”互助學(xué)習(xí),求出所選兩位同學(xué)恰好是一位男同學(xué)和一位女同學(xué)的概率.(要求列表或樹狀圖)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織九年級學(xué)生參加漢字聽寫大賽,并隨機(jī)抽取部分學(xué)生成績作為樣本進(jìn)行分析,繪制成如下的統(tǒng)計表:
成績x/分 | 頻數(shù) | 頻率 | |
第1段 | x<60 | 2 | 0.04 |
第2段 | 60≤x<70 | 6 | 0.12 |
第3段 | 70≤x<80 | 9 | b |
第4段 | 80≤x<90 | a | 0.36 |
第5段 | 90≤x≤100 | 15 | 0.30 |
請根據(jù)所給信息,解答下列問題:
(1)a=______,b=______;
(2)請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(3)樣本中,部分學(xué)生成績的中位數(shù)落在第_______段;
(4)已知該年級有400名學(xué)生參加這次比賽,若成績在90分以上(含90分)的為優(yōu),估計該年級成績?yōu)閮?yōu)的有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知以Rt△ABC的邊AB為直徑作△ABC的外接圓⊙O,∠B的平分線BE交AC于D,交⊙O于E,過E作EF∥AC交BA的延長線于F.
(1)求證:EF是⊙O切線;
(2)若AB=15,EF=10,求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市農(nóng)林種植專家指導(dǎo)貧困戶種植紅梨和青棗,收獲的紅梨和青棗優(yōu)先進(jìn)入該市水果市場.已知某水果經(jīng)銷商購進(jìn)了紅梨和青棗兩種水果各10箱,分配給下屬的甲、乙兩個零售店(分別簡稱甲店、乙店)銷售.預(yù)計每箱水果的盈利情況如表
紅梨/箱 | 青棗/箱 | |
甲店 | 22元 | 34元 |
乙店 | 18元 | 26元 |
(1)若甲、乙兩店各配貨10箱,其中甲店配紅梨2箱,青棗8箱;乙店配紅梨8箱,青棗2箱,請你計算出經(jīng)銷商能盈利多少元?
(2)若甲、乙兩店各配貨10箱,且在保證乙店盈利不小于200元的條件下,請你設(shè)計出使水果經(jīng)銷商盈利最大的配貨方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小東設(shè)計的“作平行四邊形一邊中點”的尺規(guī)作圖過程.
已知:平行四邊形ABCD.
求作:點M,使點M為邊AD的中點.
作法:如圖,
①作射線BA;
②以點A為圓心,CD長為半徑畫弧,交BA的延長線于點E;
③連接EC交AD于點M.
所以點M就是所求作的點.
根據(jù)小東設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡);
(2)完成下面的證明.
證明:連接AC,ED.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴.
∵AE= ,
∴四邊形EACD是平行四邊形( )(填推理的依據(jù)).
∴( )(填推理的依據(jù)).
∴點M為所求作的邊AD的中點.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A、C、F在坐標(biāo)軸上,E是OA的中點,四邊形AOCB是矩形,四邊形BDEF是正方形,若點C的坐標(biāo)為(3,0),則點D的坐標(biāo)為( 。
A. (1,2.5)B. (1,1+ )C. (1,3)D. (﹣1,1+ )
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