Question

已知拋物線y=ax²-1與x軸交于點(diǎn)A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P是拋物線上的一點(diǎn)，若△PAB是直角三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：代數(shù)幾何綜合題,分類討論

分析：把點(diǎn)A（-1，0）代入拋物線y=ax²-1得拋物線的解析式為；y=x²-1，再求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再證出∠CBA=90°，得出點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)，△PAB是直角三角形，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，過點(diǎn)A作PA⊥AB，交y軸與點(diǎn)D，求出直線AC的解析式為；y=x+1，再由

y=x2-1 y=x+1

  即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：把點(diǎn)A（-1，0）代入拋物線y=ax²-1得；0=a-1，a=1，
則拋物線的解析式為；y=x²-1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-1），
設(shè)拋物線y=ax²-1與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），
∵OB=OC=1，
∴∠OBC=45°，
∵OB=OA，
∴∠OBA=45°，
∴∠CBA=90°，
∴點(diǎn)P在點(diǎn)C處時(shí)，△PAB是直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0），
過點(diǎn)A作PA⊥AB，交y軸與點(diǎn)D，
∵∠OAB=45°，
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∴OA=OD=1，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），
∴直線AC的解析式為；y=x+1，
由

y=x2-1 y=x+1

  得：

x=-1 y=0

 （舍去），

x=2 y=3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；
故答案為；（1，0），（2，3）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，用到的知識(shí)點(diǎn)是拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、一次函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，要注意分兩種情況求解．