Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AP，交射線DC于點(diǎn)E，射線AE交射線BC于點(diǎn)F，設(shè)BP=a．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C都不重合），試用含a的代數(shù)式表示CE；
（2）當(dāng)a=3時(shí)，連結(jié)DF，試判斷四邊形APFD的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)tan∠PAE=

1

2

時(shí)，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：幾何綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）PC在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只需要用勾股定理表示PE²=PC²+EC²就可以使問(wèn)題到解決，而關(guān)鍵是解決PE²，又在Rt△APE中由勾股定理求得，從而解決問(wèn)題．
（2）把a(bǔ)=3的值代入第一問(wèn)的解析式就可以求出CE的值，再利用三角形相似就可以求出CF的值．
（3）由條件可以證明△ABP∽△PCE，可以得到

BP

CE

=

AB

PC

=2，再分情況討論，從而求出a的值．

解答：解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，
∵BP=a，
∴PC=5-a，DE=4-CE，
∵AP⊥PE，
∴∠APE=90°，∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
∴△ABP∽△PCE，
∴

CE

BP

=

PC

AB

，
∴

CE

a

=

5-a

4

，
∴EC=

-a2+5a

4

，
自變量的取值范圍為：0＜a＜5；

（2）當(dāng)a=3時(shí)，EC=

-32+5×3

4

=

3

2

，
∴DE=

5

2

，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD平行于BF．
∴△AED∽△FEC，
∴

AD

CF

=

DE

CE

，
∴

5

CF

=

5 2

3 2

，
∴CF=3，
∴PF=AD=5，
∴四邊形APFD是平行四邊形；

（3）如圖2，根據(jù)tan∠PAE=

1

2

，可得：

AP

PE

=2，
∵∠APB+∠BPE=90°，∠CEP+∠EPC=90°，
∴∠CEP=∠APB，
又∵∠ABP=∠PCE，
∴△ABP∽△PCE
∴

BP

CE

=

AB

PC

=2
于是：

a

EC

=

4

5-a

=2 ①或

a

EC

=

4

a-5

=2 ②
解得：a=3，EC=1.5或 a=7，EC=3.5．
∴a=3或7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形以及勾股定理的運(yùn)用，利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．