Question

【題目】如圖，在中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、 不重合），過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn) ，聯(lián)結(jié)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) 、作直線，交于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)、．

（1）當(dāng)點(diǎn)在邊上，設(shè), ．

①寫出關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式及定義域；

②判斷的形狀，并給出證明；

（2）如果，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①；②詳見(jiàn)解析；（2）或

【解析】

（1）①先證△DEB為等腰直角三角形，設(shè)DB=x，CE=y知EB=x，由EB+CE=4知x+y=4，從而得出答案；
②由∠ADE=90°，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)知CF=AF=AE，DF=AF=AE，據(jù)此得出CF=DF，再由∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD知∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，結(jié)合∠CAB=45°知∠CFD=90°，據(jù)此可得答案；
（2）分點(diǎn)E在BC上和BC延長(zhǎng)線上兩種情況，分別求出DF、GF的長(zhǎng)，從而得出答案．

(1)①∵，，

，，

又，

為等腰直角三角形，

，，

，

又，

，

；

②，，

，

點(diǎn)是的中點(diǎn)，

，，

，∠CAF=∠ACF，∠EAD=∠FDA，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形；

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，

在中，，

則，

∴sin∠CAE=

，

又，

由（2）得：，

∴∠CFG=90°，

∴

∴，

；

如圖，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，，

同理可得，

在中，，

，

綜上所述：DG的長(zhǎng)為或．