【題目】問題提出

1)如圖1,在△ABC中,∠A75°,∠C60°,AC6,求△ABC的外接圓半徑R的值;

問題探究

2)如圖2,在△ABC中,∠BAC60°,∠C45°,AC8,點D為邊BC上的動點,連接ADAD為直徑作O交邊AB、AC分別于點E、F,接E、F,求EF的最小值;

問題解決

3)如圖3,在四邊形ABCD中,∠BAD90°,∠BCD30°,ABAD,BC+CD12,連接AC,線段AC的長是否存在最小值,若存在,求最小值:若不存在,請說明理由.

【答案】1)△ABC的外接圓的R6;(2EF的最小值為12;(3)存在,AC的最小值為9

【解析】

1)如圖1中,作△ABC的外接圓,連接OAOC.證明∠AOC=90°即可解決問題;

2)如圖2中,作AHBCH.當(dāng)直徑AD的值一定時,EF的值也確定,根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)ADAH重合時,AD的值最短,此時EF的值也最短;

3)如圖3中,將△ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE,連接EC,作EHCBCB的延長線于H,設(shè)BE=CD=x.證明EC=AC,構(gòu)建二次函數(shù)求出EC的最小值即可解決問題.

解:(1)如圖1中,作ABC的外接圓,連接OA,OC

∵∠B180°BACACB180°75°60°45°,

∵∠AOC2∠B

∴∠AOC90°,

AC6

OAOC6,

∴△ABC的外接圓的R6

2)如圖2中,作AHBCH

AC8,C45°

AHACsin45°8×8,

∵∠BAC60°,

當(dāng)直徑AD的值一定時,EF的值也確定,

根據(jù)垂線段最短可知當(dāng)ADAH重合時,AD的值最短,此時EF的值也最短,

如圖21中,當(dāng)ADBC時,作OHEFH,連接OE,OF

∵∠EOF2∠BAC120°,OEOFOHEF

EHHF,OEFOFE30°

EHOFcos30°46,

EF2EH12,

EF的最小值為12

3)如圖3中,將ADC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ABE,連接EC,作EHCBCB的延長線于H,設(shè)BECDx

∵∠AEAC,CAE90°

ECAC,AECACE45°,

EC的值最小時,AC的值最小,

∵∠BCDACB+∠ACDACB+∠AEB30°,

∴∠∠BEC+∠BCE60°,

∴∠EBC120°,

∴∠EBH60°,

∴∠BEH30°,

BHxEHx,

CD+BC12,CDx,

BC12x

EC2EH2+CH2=(x2+x212x+432,

a10,

當(dāng)x=﹣6時,EC的長最小,

此時EC18,

ACEC9,

AC的最小值為9

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