【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°， 點(diǎn)D在AB上，且CD=BD.

(1)求證:點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).

(2)以CD為對稱軸將△ACD翻折至△A'CD，連接BA'，若∠DBC=a，求∠CB A'的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）a

【解析】

（1）利用等邊對等角易得∠DBC=∠DCB，再由等角的余角相等，可推出∠A=∠DCA，即可得證.

（2）利用三角形外角性質(zhì)可得∠ADC=2a，根據(jù)折疊可得AD=A'D，∠ADA'=2a，然后求出∠A'DB，再由等腰三角形底角相等，可求出∠DBA'，減去a即為∠CB A'

（1）證明：∵CD=BD，

∴∠DBC=∠DCB

∵∠DBC+∠A=90°，∠DCB+∠ACD=90°，

∴∠A=∠ACD

∴CD=AD=BD

∴點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)

（2）解：∵CD=BD

∴∠DCB=∠DBC=a，

∴∠ADC=∠DCB+∠DBC =2a

折疊可得AD=A'D，∠ADA'=2a

∴∠A'DB=180°-∠ADC-∠ADA'=180°-4a

由（1）可知AD=BD，∴A'D=BD

∴△A'DB為等腰三角形，

∴∠DBA'=

∴∠CB A'=∠DBA'-∠DBC=a

故∠CB A'的度數(shù)為a.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（1）補(bǔ)充完整：

如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn)，且滿足∠EAF=45°，連結(jié)EF，試說明DE+BF=EF．

解：將△ADE繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，此時AB與AD重合．由旋轉(zhuǎn)可得AB=AD，GB=ED，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°．

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°．

∴點(diǎn)G、B、F在同一條直線上．

∵∠EAF=45°，

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°

∵∠1=∠2，

∴∠1+∠3=45°．

∴∠GAF=∠ ．

又∵AG=AE，AF=AF．

∴△GAF≌ ．

∵ =EF．

∴DE+BF=BG+BF=GF=EF．

（2）類比引申：

如圖2，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°，若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時，有EF=BE+DF．

（3）聯(lián)想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°，試猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，本市新建一座圓形人工湖，為測量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A，B，C三根木柱，使得A，B之間的距離與A，C之間的距離相等，并測得BC長為120米，A到BC的距離為4米，請你幫他們求出該湖的半徑.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長線上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD的延長線于點(diǎn)E，BC=6， ．求BE的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，CD是線段AB的垂直平分線，則∠CAD= ∠CBD.請說明理由:

解:∵CD是線段AB的垂直平分線，

∴AC=___ ，_ =BD. .

在△ACD和△BCD中，

. =BC，

AD=_ ，

CD=CD，

∴△ACD≌__ ___ (_ . __) .

∴∠CAD=∠CBD (_ __ )

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點(diǎn)O（0，0）在拋物線y=ax2+bx+c （a≠0）上．

（1）求拋物線的解析式．

（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P的坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對應(yīng)）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】反比例函數(shù)和一次函數(shù)y=k2x+b的圖象交于點(diǎn)M（3，﹣）和點(diǎn)N（﹣1，2），則k1=_____，k2=____，一次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)_____．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC和△DCB中，若∠ACB＝∠DBC，則不能證明兩個三角形全等的條件是( )

A.∠ABC＝∠DCBB.∠A＝∠DC.AB=DCD.AC=DB

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)a，b是任意兩個不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實(shí)數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)m≤x≤n時，有m≤y≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[m，n]上的“閉函數(shù)”．如函數(shù)y=﹣x+4，當(dāng)x=1時，y=3；當(dāng)x=3時，y=1，即當(dāng)1≤x≤3時，恒有1≤y≤3，所以說函數(shù)y=﹣x+4是閉區(qū)間[1，3]上的“閉函數(shù)”，同理函數(shù)y=x也是閉區(qū)間[1，3]上的“閉函數(shù)”．

（1）反比例函數(shù)y=是閉區(qū)間[1，2018]上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；

（2）如果已知二次函數(shù)y=x2﹣4x+k是閉區(qū)間[2，t]上的“閉函數(shù)”，求k和t的值；

（3）如果（2）所述的二次函數(shù)的圖象交y軸于C點(diǎn)，A為此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，B為直線x=1上的一點(diǎn)，當(dāng)△ABC為直角三角形時，寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

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