【題目】(1)補(bǔ)充完整:
如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn),且滿足∠EAF=45°,連結(jié)EF,試說明DE+BF=EF.
解:將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,此時(shí)AB與AD重合.由旋轉(zhuǎn)可得AB=AD,GB=ED,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°.
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.
∴點(diǎn)G、B、F在同一條直線上.
∵∠EAF=45°,
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=45°.
∴∠GAF=∠ .
又∵AG=AE,AF=AF.
∴△GAF≌ .
∵ =EF.
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF.
(2)類比引申:
如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°,若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系 時(shí),有EF=BE+DF.
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°,試猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系,并寫出推理過程.
【答案】(1) EAF,△EAF,GF;(2)∠B+∠D=180°;(3)BD2+CE2=DE2.
【解析】
(1)把△AEE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ABG,可使AB與AD重合,證出△AFG≌△AFE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG,即可得出答案;
(2)把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,證出△AFE≌△AFG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=FG,即可得出答案;
(3)把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置,連接DF,證明△AFE≌△AFG(SAS),則EF=FG,∠C=∠ABF=45°,△BDF是直角三角形,根據(jù)勾股定理即可作出判斷.
(1)將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,此時(shí)AB與AD重合.由旋轉(zhuǎn)可得AB=ADMBGD,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°.
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.
∴點(diǎn)G、B、F在同一條直線上.
∵∠EAF=45°,
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45,
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=45°.
∴∠GAF=∠EAF.
又∵AG=AE,AF=AF.
∴△GAF≌△EAF.
∵GF=EF.
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF,
故答案為EAF,△EAF,GF
(2)∠B+∠D=180°時(shí),EF=BE+DF;
∵AB=AD,
∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,可使AB與AD重合,如圖2,
∴∠BAE=∠DAG,
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°,
∴∠BAE+∠DAF=45°,
∴∠EAF=∠FAG,
∵∠ADC+∠B=180°,
∴∠FDG=180°,點(diǎn)F、D、G共線,
在△AFE和△AFG中,
∴△AFE≌△AFG(SAS),
∴EF=FG,
即:EF=BE+DF,
故答案為:∠B+∠ADC=180°;
(3)BD2+CE2=DE2.
理由是:把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置,連接DF,則∠FAB=∠CAE.
∵∠BAC=90°,∠DAE=45°,
∴∠BAD+∠CAE=45°,
又∵∠FAB=∠CAE,
∴∠FAD=∠DAE=45°,
則在△ADF和△ADE中,
∴△ADF≌△ADE,
∴DF=DE,∠C=∠ABF=45°,
∴∠BDF=90°,
∴△BDF是直角三角形,
∴BD2+BF2=DF2,
∴BD2+CE2=DE2.
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【題目】已知分式:
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(2)把分式A化簡結(jié)果的分子與分母同時(shí)加上3后得到分式B,問:當(dāng)a>2時(shí),分式B的值較原來分式A的值是變大了還是變小了?試說明理由。
(3)若A的值是整數(shù),且a也為整數(shù),求出所有符合條件a的值.
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【題目】已知:△ABC是等腰三角形,動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線上,以PC為直角邊作等腰三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解決下列問題:
(1)如圖①,若點(diǎn)P在線段AB上,且AC=1+,PA=,則:
①線段PB= ,PC= ;
②猜想:PA2,PB2,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)如圖②,若點(diǎn)P在AB的延長線上,在(1)中所猜想的結(jié)論仍然成立,請你利用圖②給出證明過程;
(3)若動(dòng)點(diǎn)P滿足,求的值.(提示:請利用備用圖進(jìn)行探求)
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【題目】某班級(jí)在探究“將軍飲馬問題”時(shí)抽象出數(shù)學(xué)模型:
直線l同旁有兩個(gè)定點(diǎn)A、B,在直線上存在點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小.解法:如圖1,作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn),連接,則與直線l的交點(diǎn)即為P,且PA+PB的最小值為.
請利用上述模型解決下列問題:
(1)幾何應(yīng)用:如圖2,△ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,E是AB的中點(diǎn),P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn),則PA+PE的最小值為 ;
(2)代數(shù)應(yīng)用:求代數(shù)式+ (0≤x≤3)的最小值.
(3)幾何拓展:如圖3,△ABC中,AC=2,∠A=30°,若在AB、AC上各取一點(diǎn)M、N使BM+MN的值最小,最小值是 ;
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【題目】在等邊△ABC中,D是邊AC上一點(diǎn),連接BD,將△BCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BAE,連接ED,若BC=5,BD=4,則以下四個(gè)結(jié)論中: ①△BDE是等邊三角形; ②AE∥BC; ③△ADE的周長是9; ④∠ADE=∠BDC.其中正確的序號(hào)是( 。
A.②③④B.①②④C.①②③D.①③④
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【題目】如圖,在第1個(gè)△ABA1中,∠B=40°,∠BAA1=∠BA1A,在A1B上取一點(diǎn)C,延長AA1到A2,使得在第2個(gè)△A1CA2中,∠A1CA2=∠A1 A2C;在A2C上取一點(diǎn)D,延長A1A2到A3,使得在第3個(gè)△A2DA3中,∠A2DA3=∠A2 A3D;…,按此做法進(jìn)行下去,第3個(gè)三角形中以A3為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為 ;第n個(gè)三角形中以An為頂點(diǎn)的內(nèi)角的度數(shù)為 .
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系中,先描出點(diǎn),點(diǎn).
(1)描出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的位置,寫出的坐標(biāo) ;
(2)用尺規(guī)在軸上找一點(diǎn),使的值最。ūA糇鲌D痕跡);
(3)用尺規(guī)在軸上找一點(diǎn),使(保留作圖痕跡).
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基本運(yùn)用
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能力提升
如圖,在中,,,,點(diǎn)O為內(nèi)一點(diǎn),連接AO,BO,CO,且,求的值.
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【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°, 點(diǎn)D在AB上,且CD=BD.
(1)求證:點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
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