Question

已知在正方形ABCD中，F(xiàn)在對(duì)角線AC上，BF⊥FE，且AF=CE=2，求正方形ABCD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CD于D，作MN∥AN分別交BC、AD于M、N，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得FH=FM，△ANH是等腰直角三角形，四邊形FHDN是矩形，然后求出AN=BM=FN=DH=

2

，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BFM=∠EFH，利用“角角邊”證明△BFM和△EFH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EH=BM，再求出CD，然后根據(jù)正方形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥CD于D，作MN∥AN分別交BC、AD于M、N，
∵點(diǎn)F是正方形ABCD對(duì)角線上的點(diǎn)，
∴FH=FM，△ANH是等腰直角三角形，四邊形FHDN是矩形，
∵AF=2，
∴AN=BM=FN=DH=

2

，
∵BF⊥FE，
∴∠BFM+∠CFM=90°，
又∵∠EFH+∠EFM=90°，
∴∠BFM=∠EFH，
在△BFM和△EFH中，

∠BFM=∠EFH ∠BMF=∠EHF=90° FH=FM

，
∴△BFM≌△EFH（AAS），
∴EH=BM，
∴CD=DH+EH+CE=

2

+

2

+2=2+2

2

，
∴正方形ABCD的面積=（2+2

2

）²=12+8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判斷與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出矩形和全等三角形是解題的關(guān)鍵．