Question

如圖1．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)Q，連結(jié)PQ、DQ、CQ、BQ，設(shè)AP=x．
（1）BQ+DQ的最小值是

 

．此時(shí)x的值是

 

．
（2）如圖2，若PQ的延長(zhǎng)線交CD邊于點(diǎn)E，并且∠CQD=90°．
     ①求證：點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)；②求x的值．
（3）若點(diǎn)P是射線AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)△CDQ為等腰三角形時(shí)x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）BQ+DQ為點(diǎn)B到D兩段折線的和．由兩點(diǎn)間線段最短可知，連接DB，若Q點(diǎn)落在BD上，此時(shí)和最短，且為

2

．考慮動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，這種情形是存在的，由AP=x，則PD=1-x，PQ=x．又PDQ=45°，所以PD=

2

PQ，即1-x=

2

x．求解可得x=

2

-1．
（2）由已知條件對(duì)稱(chēng)分析，AB=BQ=BC，則∠BCQ=∠BQC，由∠BQE=∠BCE=90°，可得∠EQC=∠ECQ．那么若有QE=ED，則結(jié)論可證．再分析新條件∠CQD=90°，易得①結(jié)論．求x，通常都是考慮勾股定理，選擇直角三角形PDE，發(fā)現(xiàn)PE，DE，PD都可用x來(lái)表示，進(jìn)而易得方程，求解即可．
（3）若△CDQ為等腰三角形，則邊CD比為改等腰三角形的一腰或者底邊．又Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于PB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則AB=QB，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，則Q點(diǎn)只能在弧AB上．若CD為腰，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交點(diǎn)即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為腰）的Q點(diǎn)．若CD為底邊，則作CD的垂直平分線，其與弧AC的交點(diǎn)即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為底）的Q點(diǎn)．則如圖所示共有三個(gè)Q點(diǎn)，那么也共有3個(gè)P點(diǎn)．作輔助線，利用直角三角形性質(zhì)求之即可．

解答：（1）答：

2

，

2

-1．

（2）①證明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠A=∠BCD=90°．
∵Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BP的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，
∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，
∴∠BQC=∠BCQ，
∴∠EQC=∠EQB-∠CQB=∠ECB-∠QCB=∠ECQ，
∴EQ=EC．
在Rt△QDC中，
∵∠QDE=90°-∠QCE，
∠DQE=90°-∠EQC，
∴∠QDE=∠DQE，
∴EQ=ED，
∴CE=EQ=ED，即E為CD的中點(diǎn)．
②解：∵AP=x，AD=1，
∴PD=1-x，PQ=x，CD=1．
在Rt△DQC中，
∵E為CD的中點(diǎn)，
∴DE=QE=CE=

1

2

，
∴PE=PQ+QE=x+

1

2

，
∴(x+

1

2

)2=(1-x)2+(

1

2

)2，
解得 x=

1

3

．

（3）答：△CDQ為等腰三角形時(shí)x的值為2-

3

，

3

3

，2+

3

．
（分析如下：以下內(nèi)容作答不要求書(shū)寫(xiě)）
如圖，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧分別交于Q₁，Q₃．此時(shí)△CDQ₁，△CDQ₃都為以CD為腰的等腰三角形．
作CD的垂直平分線交弧AC于點(diǎn)Q₂，此時(shí)△CDQ₂以CD為底的等腰三角形．

以下對(duì)此Q₁，Q₂，Q₃．分別討論各自的P點(diǎn)，并求AP的值．

①討論Q₁，如圖作輔助線，連接BQ₁、CQ₁，作PQ₁⊥BQ₁交AD于P，過(guò)點(diǎn)Q₁，作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCQ₁為等邊三角形，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，
∴Q1F=

3

2

，Q1E=

2- 3

2

．
在四邊形ABPQ₁中，
∵∠ABQ₁=30°，
∴∠APQ₁=150°，
∴△PEQ₁為含30°的直角三角形，
∴PE=

3

EQ1=

2 3 -3

2

．
∵AE=

1

2

，
∴x=AP=AE-PE=2-

3

．

②討論Q₂，如圖作輔助線，連接BQ₂，AQ₂，過(guò)點(diǎn)Q₂作PG⊥BQ₂，交AD于P，連接BP，過(guò)點(diǎn)Q₂作EF⊥CD于E，交AB于F．

∵EF垂直平分CD，
∴EF垂直平分AB，
∴AQ₂=BQ₂．
∵AB=BQ₂，
∴△ABQ₂為等邊三角形．
在四邊形ABQP中，
∵∠BAD=∠BQP=90°，∠ABQ₂=60°，
∴∠APE=120°
∴∠EQ₂G=∠DPG=180°-120°=60°，
∴Q2E=

2- 3

2

，
∴EG=

2 3 -3

2

，
∴DG=DE+GE=

3

-1，
∴PD=1-

3

3

，
∴x=AP=1-PD=

3

3

．

③對(duì)Q3，如圖作輔助線，連接BQ₁，CQ₁，BQ₃，CQ₃，過(guò)點(diǎn)Q₃作BQ₃⊥PQ₃，交AD的延長(zhǎng)線于P，連接BP，過(guò)點(diǎn)Q₁，作EF⊥AD于E，此時(shí)Q₃在EF上，不妨記Q₃與F重合．

∵△BCQ₁為等邊三角形，△BCQ₃為等邊三角形，BC=1，
∴Q1Q2=

3

，Q1E=

2- 3

2

，
∴EF=

2+ 3

2

．
在四邊形ABQ₃P中
∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ₃=150°，
∴∠EPF=30°，
∴EP=

3

EF=

2 3 +3

2

．
∵AE=

1

2

，
∴x=AP=AE+PE=

3

+2．
綜上所述，△CDQ為等腰三角形時(shí)x的值為2-

3

，

3

3

，2+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題第一問(wèn)非�；�礎(chǔ)，難度較低．第二問(wèn)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)的原因，思路不易找到，這里就需要做題時(shí)充分分析已知條件，尤其是新給出的條件．其中求邊長(zhǎng)是勾股定理的重要應(yīng)用，是很重要的考點(diǎn)．第三問(wèn)是一個(gè)難度非常高的題目，可以利用尺規(guī)作圖的思想將滿足要求的點(diǎn)Q找全．另外求解各個(gè)P點(diǎn)也是考察三角函數(shù)及勾股定理的綜合應(yīng)用，有著極高的難度．