【題目】已知△ABC是等邊三角形,四邊形ADEF是菱形,∠ADE=120°(AD>AB).
(1)如圖①,當(dāng)AD與邊BC相交,點(diǎn)D與點(diǎn)F在直線AC的兩側(cè)時(shí),BD與CF的數(shù)量關(guān)系為___________.
(2)將圖①中的菱形ADEF繞點(diǎn)A在平面內(nèi)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°).
Ⅰ.判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立,請(qǐng)利用圖②證明你的結(jié)論.
Ⅱ.若AC=4,AD=6,當(dāng)△ACE為直角三角形時(shí),直接寫出CE的長度.
【答案】(1);(2)I(1)中的結(jié)論仍然成立,理由詳見解析;II或
【解析】
(1)根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAF,利用SAS證明△ABD與△ACF全等,再利用全等三角形的性質(zhì)得出即可;
(2)I.根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAF,利用SAS證明△ABD與△ACF全等,再利用全等三角形的性質(zhì)得出即可;
II.當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí),存在兩種情況:
①如圖2,當(dāng)∠ACE=90°時(shí),②如圖3,當(dāng)∠EAC=90°時(shí),勾股定理即可得CE的長.
(1)解:如圖①,∵四邊形ADEF是菱形,∠ADE=120°,
∴AD=AF,∠DAF=60°,
∴∠DAC+∠CAF=60°,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∴∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠BAD=∠CAF,
∴△BAD≌△CAF(SAS),
∴BD=CF;
故答案為:BD=CF;
(2)I.(1)中的結(jié)論仍然成立.
證明:如圖②,∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
在菱形ADEF中,
∴AD=AF,AF∥DE,
∴∠DAF=180°-∠ADE=180°-120°=60°,
∴∠BAC=∠DAF,
即∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
∴△BAD≌△CAF,
∴BD=CF;
II.當(dāng)△ACE是直角三角形時(shí),存在兩種情況:
①如圖2,當(dāng)∠ACE=90°時(shí),過F作FG⊥AE于G,
∵四邊形ADEF是菱形,
∴AF=FE,∠AFE=∠ADE=120°,
∴∠AFG=60°,
∴∠FAG=30°,
∵AF=AD=6,
∴FG=3,
∴AG=3,
∴AE=2AG=6,
Rt△ACE中,CE==;
②如圖3,當(dāng)∠EAC=90°時(shí),同理得:AE=6,
由勾股定理得:CE==.
綜上所述,CE的長為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A、B在x軸的上方,∠AOB=90°,OA、OB分別與函數(shù)、的圖象交于A、B兩點(diǎn),以OA、OB為鄰邊作矩形AOBC.當(dāng)點(diǎn)C在y軸上時(shí),分別過點(diǎn)A和點(diǎn)B作AE⊥x軸,BF⊥x軸,垂足分別為E、F,則=_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)是一款手機(jī)支架,忽略支管的粗細(xì),得到它的簡化結(jié)構(gòu)圖如圖(2)所示.已知支架底部支架CD平行于水平面,EF⊥OE,GF⊥EF,支架可繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),OE=20cm,EF=20cm.如圖(3)若將支架上部繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)G落在直線CD上時(shí),測量得∠EOG=65°.
(1)求FG的長度(結(jié)果精確到0.1);
(2)將支架由圖(3)轉(zhuǎn)到圖(4)的位置,若此時(shí)F、O兩點(diǎn)所在的直線恰好于CD垂直,點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路線的長度稱為點(diǎn)F的路徑長,求點(diǎn)F的路徑長.
(參考數(shù)據(jù):sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.14,1.73)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(﹣1,0)和C(0,3).(1)求拋物線的解析式;(2)在拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在點(diǎn)P,使PA+PC的值最小?如果存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說明理由;(3)設(shè)點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱軸上,當(dāng)△MAC是直角三角形時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校八、九兩個(gè)年級(jí)各有學(xué)生180人,為了解這兩個(gè)年級(jí)學(xué)生的體質(zhì)健康情況,進(jìn)行了抽樣調(diào)查,具體過程如下:
收集數(shù)據(jù)
從八、九兩個(gè)年級(jí)各隨機(jī)抽取20名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康測試,測試成績(百分制)如下:
八年級(jí) | 78 | 86 | 74 | 81 | 75 | 76 | 87 | 70 | 75 | 90 |
75 | 79 | 81 | 70 | 74 | 80 | 86 | 69 | 83 | 77 | |
九年級(jí) | 93 | 73 | 88 | 81 | 72 | 81 | 94 | 83 | 77 | 83 |
80 | 81 | 70 | 81 | 73 | 78 | 82 | 80 | 70 | 40 |
整理、描述數(shù)據(jù)
將成績按如下分段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù):
成績(x) | 40≤x≤49 | 50≤x≤59 | 60≤x≤69 | 70≤x≤79 | 80≤x≤89 | 90≤x≤100 |
八年級(jí)人數(shù) | 0 | 0 | 1 | 11 | 7 | 1 |
九年級(jí)人數(shù) | 1 | 0 | 0 | 7 | 10 | 2 |
(說明:成績80分及以上為體質(zhì)健康優(yōu)秀,70~79分為體質(zhì)健康良好,60~69分為體質(zhì)健康合格,60分以下為體質(zhì)健康不合格)
分析數(shù)據(jù)
兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如表所示:
年級(jí) | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 方差 |
八年級(jí) | 78.3 | 77.5 | 75 | 33.6 |
九年級(jí) | 78 | 80.5 | a | 52.1 |
(1)表格中a的值為______;
(2)請(qǐng)你估計(jì)該校九年級(jí)體質(zhì)健康優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為多少?
(3)根據(jù)以上信息,你認(rèn)為哪個(gè)年級(jí)學(xué)生的體質(zhì)健康情況更好一些?請(qǐng)說明理由.(請(qǐng)從兩個(gè)不同的角度說明推斷的合理性)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知反比例函數(shù) y=的圖象如圖所示,則二次函數(shù) y =ax 2-2x和一次函數(shù) y=bx+a 在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某旅游景區(qū)為方便游客,修建了一條東西走向的木棧道 AB ,棧道 AB 與景區(qū)道路CD 平行.在 C 處測得棧道一端 A 位于北偏西 42°方向,在 D 處測得棧道另一端 B 位于北偏西 32°方向.已知 CD =120 m , BD =80 m ,求木棧道 AB 的長度(結(jié)果保留整數(shù)) .
(參考數(shù)據(jù):,,,,,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交BC于點(diǎn)D,交CA的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作DH⊥AC,垂足為點(diǎn)H,連接DE,交AB于點(diǎn)F.
(1)求證:DH是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為4,
①當(dāng)AE=FE時(shí),求 的長(結(jié)果保留π);
②當(dāng) 時(shí),求線段AF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線1:y=﹣x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)E,拋物線L:y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、點(diǎn)A(﹣3,0)和點(diǎn)C(0,﹣3),并與直線l交于另一點(diǎn)D.
(1)求拋物線L的解析式;
(2)點(diǎn)P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)
①如圖2,過點(diǎn)P作x軸的垂線,與直線1交于點(diǎn)M,與拋物線L交于點(diǎn)N.當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、點(diǎn)B之間運(yùn)動(dòng)時(shí),求四邊形AMBN面積的最大值;
②連接AD,AC,CP,當(dāng)∠PCA=∠ADB時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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