【題目】如圖1,直線1:y=﹣x+1與x軸、y軸分別交于點B、點E,拋物線L:y=ax2+bx+c經過點B、點A(﹣3,0)和點C(0,﹣3),并與直線l交于另一點D.
(1)求拋物線L的解析式;
(2)點P為x軸上一動點
①如圖2,過點P作x軸的垂線,與直線1交于點M,與拋物線L交于點N.當點P在點A、點B之間運動時,求四邊形AMBN面積的最大值;
②連接AD,AC,CP,當∠PCA=∠ADB時,求點P的坐標.
【答案】(1)y=x2+2x﹣3;(2)①S四邊形AMBN最大值為 ;②P的坐標:P1 ,P2(﹣15,0).
【解析】
(1)先求出B的坐標,再將A、B、C坐標代入y=ax2+bx+c列方程組,然后求解,即可求出拋物線的解析式;
(2)①根據S四邊形AMBN=ABMN==﹣2(x+)2+,所以當x=﹣時,S四邊形AMBN最大值為;
②先聯立方程組.求出D點的坐標,兩種情況討論:Ⅰ.當點P在點A的右邊,∠PCA=∠ADB時,△PAC∽△ABD;Ⅱ.當點P在點A的左邊,∠PCA=∠ADB時,記此時的點P為P2,則有∠P2CA=∠P1CA.
(1)∵y=﹣x+1,
∴B(1,0),
將A(﹣3,0)、C(0,﹣3),B(1,0)代入y=ax2+bx+c,
,
∴
∴拋物線L的解析式:y=x2+2x﹣3;
(2)設P(x,0).
①S四邊形AMBN=ABMN
=
=﹣2(x+)2+,
∴當x=﹣時,S四邊形AMBN最大值為;
②由,得,,
∴D(﹣4,5),
∵y=﹣x+1,
∴E(0,1),B(1,0),
∴OB=OE,
∴∠OBD=45°.
∴BD=.
∵A(﹣3,0),C(0,﹣3),
∴OA=OC,AC=,AB=4.
∴∠OAC=45°,∴∠OBD=∠OAC.
Ⅰ.當點P在點A的右邊,∠PCA=∠ADB時,△PAC∽△ABD.
∴,
∴,
∴,
∴P1
Ⅱ.當點P在點A的左邊,∠PCA=∠ADB時,記此時的點P為P2,則有∠P2CA=∠P1CA.
過點A作x軸的垂線,交P2C于點K,則∠CAK=∠CAP1,又AC公共邊,
∴△CAK≌△CAP1(ASA)
∴AK=AP1=,
∴K(﹣3,﹣),
∴直線CK:,
∴P2(﹣15,0).
P的坐標:P1,P2(﹣15,0).
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【題目】已知△ABC是等邊三角形,四邊形ADEF是菱形,∠ADE=120°(AD>AB).
(1)如圖①,當AD與邊BC相交,點D與點F在直線AC的兩側時,BD與CF的數量關系為___________.
(2)將圖①中的菱形ADEF繞點A在平面內逆時針旋轉α(0°<α<180°).
Ⅰ.判斷(1)中的結論是否仍然成立,請利用圖②證明你的結論.
Ⅱ.若AC=4,AD=6,當△ACE為直角三角形時,直接寫出CE的長度.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線軸,且直線l與拋物線和y軸分別交于點A,B,C,點D為拋物線的頂點.若點E的坐標為,點A的橫坐標為1.
(1)線段AB的長度等于________;
(2)點P為線段AB上方拋物線上的一點,過點P作AB的垂線交AB于點H,點F為y軸上一點,當的面積最大時,求的最小值;
(3)在(2)的條件下,刪除拋物線在直線PH左側部分圖象并將右側部分圖象沿直線PH翻折,與拋物線在直線PH右側部分圖象組成新的函數M的圖象.現有平行于FH的直線,若直線與函數M的圖象有且只有2個交點,求t的取值范圍(請直接寫出t的取值范圍,無需解答過程).
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【題目】已知關于x的一元二次方程x2﹣(m+2)x+2m=0.
(1)求證:不論m為何值,該方程總有兩個實數根;
(2)若直角△ABC的兩直角邊AB、AC的長是該方程的兩個實數根,斜邊BC的長為3,求m的值.
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【題目】《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作,書中記載:“今有圓材埋壁中,不知大。凿忎徶,深1寸,鋸道長1尺,問經幾何?“其意思為:“如圖,今有一圓形木材埋在墻壁中,不知其大小用鋸子去鋸這個木材,鋸口深1寸(即DE=1寸),鋸道長1尺(即弦AB=1尺),問這塊圓形木材的直徑是多少?”該問題的答案是_____(注:1尺=10寸)
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【題目】民俗村的開發(fā)和建設帶動了旅游業(yè)的發(fā)展,某市有A、B、C、D、E五個民俗旅游村及“其它”景點,該市旅游部門繪制了2018年“五一”長假期間民俗村旅游情況統(tǒng)計圖如下:
根據以上信息解答:
(1)2018年“五一”期間,該市五個旅游村及“其它”景點共接待游客 萬人,扇形統(tǒng)計圖中D民俗村所對應的圓心角的度數是 ,并補全條形統(tǒng)計圖;
(2)根裾近幾年到該市旅游人數增長趨勢,預計2019年“五一”節(jié)將有70萬游客選擇該市旅游,請估計有多少萬人會選擇去E民俗村旅游?
(3)甲、乙兩個旅行團在A、C、D三個民俗村中,同時選擇去同一個民俗村的概率是多少?請用畫樹狀圖或列表法加以說明.
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【題目】重慶某大型車輛企業(yè)從去年開始出售“大鼻子安全校車”(以下簡稱校車).經統(tǒng)計發(fā)現,該校車月銷售量P(輛)與月份x(1≤x≤12且x取整數)之間的函數關系如下表所示:
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
月銷售量P(輛) | 66 | 68 | 70 | 72 | 74 | … |
(1)請觀察題中的表格,用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識,求出P與x之間的函數關系式;
(2)若該校車在去年上半年的銷售價格y1(萬元)與月份x之間的函數關系式為y1=﹣0.5x+36(1≤x≤6且x取整數);去年下半年的銷售價格y2(萬元)與月份x之間的函數關系式為y2=﹣x+39(7≤x≤12且x取整數).此外,已知生產每輛校車的材料成本為12萬元,人力和其他成本共4萬元.問該企業(yè)去年哪個月銷售校車的利潤最大,并求出這個最大利潤.
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【題目】如圖,小明同學用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB,他調整自己的位置,設法使斜邊DF保持水平,并且邊DE與點B在同一直線上,已知紙板的兩條直角邊DE=0.4m,EF=0.2m,測得邊DF離地面的高度AC=1.5m,CD=8m,求樹高。
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【題目】如圖(1),已知點G在正方形ABCD的對角線AC上,GE⊥BC,垂足為點E,GF⊥CD,垂足為點F.
(1)證明與推斷:
①求證:四邊形CEGF是正方形;
②推斷:的值為 :
(2)探究與證明:
將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角(0°<α<45°),如圖(2)所示,試探究線段AG與BE之間的數量關系,并說明理由:
(3)拓展與運用:
正方形CEGF在旋轉過程中,當B,E,F三點在一條直線上時,如圖(3)所示,延長CG交AD于點H.若AG=6,GH=2,則BC= .
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