Question

【題目】已知，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使PA+PC的值最小？如果存在，請求出點P的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由；（3）設(shè)點M在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△MAC是直角三角形時，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)的值最小時，點P的坐標(biāo)為；（3）點M的坐標(biāo)為、、或.

【解析】

由點A、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時取最小值，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點B的坐標(biāo)，由點B、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式，利用配方法可求出拋物線的對稱軸，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出點P的坐標(biāo)；

設(shè)點M的坐標(biāo)為，則，，，分、和三種情況，利用勾股定理可得出關(guān)于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，進而即可得出點M的坐標(biāo)．

解：將、代入中，

得：，解得：，

拋物線的解析式為．

連接BC交拋物線對稱軸于點P，此時取最小值，如圖1所示．

當(dāng)時，有，

解得：，，

點B的坐標(biāo)為．

拋物線的解析式為，

拋物線的對稱軸為直線．

設(shè)直線BC的解析式為，

將、代入中，

得：，解得：，

直線BC的解析式為．

當(dāng)時，，

當(dāng)的值最小時，點P的坐標(biāo)為．

設(shè)點M的坐標(biāo)為，

則，，．

分三種情況考慮：

當(dāng)時，有，即，

解得：，，

點M的坐標(biāo)為或；

當(dāng)時，有，即，

解得：，

點M的坐標(biāo)為；

當(dāng)時，有，即，

解得：，

點M的坐標(biāo)為

綜上所述：當(dāng)是直角三角形時，點M的坐標(biāo)為、、或