Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，點P是AB延長線上一點，∠BCP＝∠A．

（1）求證：直線PC是⊙O的切線；

（2）若CA＝CP，⊙O的半徑為2，求CP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

(1)欲證明PC是⊙O的切線，只要證明OC⊥PC即可；

(2)想辦法證明∠P=30°即可解決問題．

(1)∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO，

∵∠PCB=∠A，

∴∠ACO=∠PCB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACO+∠OCB=90°，

∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半徑，

∴PC是⊙O的切線；

(2)∵CP=CA，

∴∠P=∠A，

∴∠COB=2∠A=2∠P，

∵∠OCP=90°，

∴∠P=30°，

∵OC=OA=2，

∴OP=2OC=4，

∴PC==2．