Question

【題目】綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是平行四邊形，A、C兩點的坐標(biāo)分別為（4，0），（-2，3），拋物線W經(jīng)過O、A、C三點，D是拋物線W的頂點．

（1）求拋物線W的解析式及頂點D的坐標(biāo)；

（2）將拋物線W和OABC一起先向右平移4個單位后，再向下平移m（0＜m＜3）個單位，得到拋物線W′和O′A′B′C′，在向下平移的過程中，設(shè)O′A′B′C′與OABC的重疊部分的面積為S，試探究：當(dāng)m為何值時S有最大值，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)S取最大值時，設(shè)此時拋物線W′的頂點為F，若點M是x軸上的動點，點N是拋物線W′上的動點，試判斷是否存在這樣的點M和點N，使得以D、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）W=x2-x．頂點D的坐標(biāo)為（2，-1）．（2）當(dāng)m=時，S有最大值為．（3）存在這樣的點M和點N，點M的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，進(jìn)而求出頂點D的坐標(biāo)；

（2）由平移性質(zhì)，可知重疊部分為一平行四邊形．如答圖2，作輔助線，利用相似比例式求出平行四邊形的邊長和高，從而求得其面積的表達(dá)式；然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值；

（3）本問涉及兩個動點，解題關(guān)鍵是利用平行四邊形的判定與性質(zhì)，區(qū)分點N在x軸上方、下方兩種情況，分類討論，避免漏解．設(shè)M（t，0），利用全等三角形求出點N的坐標(biāo)，代入拋物線W′的解析式求出t的值，從而求得點M的坐標(biāo)．

解：（1）設(shè)拋物線W的解析式為W=ax2+bx+c，

∵拋物線W經(jīng)過O（0，0）、A（4，0）、C（-2，3）三點，

∴，解得：

∴拋物線W的解析式為W=x2-x．

∵W=x2-x=（x-2）2-1，

∴頂點D的坐標(biāo)為（2，-1）．

（2）由OABC得，CB∥OA，CB=OA=4．

又∵C點坐標(biāo)為（-2，3），

∴B點的坐標(biāo)為（2，3）．

如答圖2，過點B作BE⊥x軸于點E，由平移可知，點C′在BE上，且BC′=m．

∴BE=3，OE=2，∴EA=OA-OE=2．

∵C′B′∥x軸，

∴△BC′G∽△BEA，

∴，即，

∴C′G=m．

由平移知，O′A′B′C′與OABC的重疊部分四邊形C′HAG是平行四邊形．

∴S=C′GC′E=m（3-m）=-（m-）2+，

∴當(dāng)m=時，S有最大值為．

（3）答：存在．

在（2）的條件下，拋物線W向右平移4個單位，再向下平移個單位，得到拋物線W′，

∵D（2，-1），∴F（6，-）；

∴拋物線W′的解析式為：y=（x-6）2-．

設(shè)M（t，0），

以D、F、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，

①若點N在x軸下方，如答圖3所示：

過點D作DP∥y軸，過點F作FP⊥DP于點P，

∵D（2，-1），F（6，-），∴DP=，FP=4；

過點N作NQ⊥x軸于點Q，

由四邊形FDMN為平行四邊形，易證△DFP≌△NMQ，

∴MQ=FP=4，NQ=DP=，

∴N（4+t，-），

將點N坐標(biāo)代入拋物線W′的解析式y=（x-6）2-，得：（t-2）2-=-，

解得：t=0或t=4，

∴點M的坐標(biāo)為（0，0）或（4，0）；

②若點N在x軸上方，

與①同理，得N（t-4，）

將點N坐標(biāo)代入拋物線W′的解析式y=（x-6）2-，得：（t-10）2-=，

解得：t=6或t=14，

∴點M的坐標(biāo)為（6，0）或（14，0）．

綜上所述，存在這樣的點M和點N，點M的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．