Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于．

（1）求函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)是線段中點(diǎn)，點(diǎn)是上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，．當(dāng)的面積最大時(shí)，過點(diǎn)作軸垂線，垂足為，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別是，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，先沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，再沿運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處，最后沿適當(dāng)?shù)穆窂竭\(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處停止．求面積的最大值及點(diǎn)經(jīng)過的最短路徑的長；

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大面積為；點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)最短路徑為

【解析】

（1）根據(jù)題意可設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)式，再用待定系數(shù)法求解即可.

（2）觀察圖形發(fā)現(xiàn)本身的面積不易表示，由條件點(diǎn)是線段中點(diǎn)想到三角形的中線將其面積分為相等的兩部分，所以將求面積最大值轉(zhuǎn)化為求 的面積最大值，方法可過作軸的垂線，交于點(diǎn)，通過二次函數(shù)解析式與直線的解析式分別設(shè)出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，再表示出的面積轉(zhuǎn)化為新的二次函數(shù)求最值；

求點(diǎn)經(jīng)過的最短路徑，先要確定點(diǎn)的位置，可作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)的點(diǎn)，原因是此時(shí)與共線，最后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出線段長度即可.

因?yàn)閽佄锞�與軸交于，兩點(diǎn)，

可設(shè)函數(shù)解析式為：，

根據(jù)題意得：

解得：

∴解析式為：；

（2）∵點(diǎn)是線段中點(diǎn)

∴

∴當(dāng)面積最大時(shí)，的面積最大；

過作軸的垂線，交于點(diǎn)，

易得直線的直線方程為：

設(shè)，

∴

當(dāng)時(shí)，有最大面積，最大面積為

∴，，

作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，

連接交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路徑最短時(shí)的點(diǎn)，

因?yàn)?/span>， ，所以

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，所以

因?yàn)?/span>與關(guān)于對稱，所以

∴在中，

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)最短路徑為.