Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC運(yùn)動(dòng)，連接PQ，交AC于點(diǎn)D．作PE⊥AC于點(diǎn)E，若在點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，始終保持AP=CQ，則線段DE的長(zhǎng)度為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專(zhuān)題：幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,動(dòng)點(diǎn)型

分析：作PF∥BC交AC于點(diǎn)D，就可以得出△APE是等腰直角三角形，由其性質(zhì)就可以得出AE=EF，由△PFD≌△QCD就可以得出DC=DF，進(jìn)而就可以得出DF+FE=CD+AE就可以得出結(jié)論．

解答：解：作PF∥BC交AC于點(diǎn)D，
∴∠APF=∠B=90°，∠AFP=∠ACB．∠FPD=∠Q，∠PFD=∠QCD．
∵∠B=90°，AB=BC=8cm，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴PA=AF．
∵PE⊥AC，
∴AE=EF．
∵AP=CQ，
∴PF=CQ．
在Rt△ABC中，由勾股定理就可以得出
AC=8

2

．
在△PFD和△QCD中，

∠FPD=∠Q PF=QC ∠PFD=∠QCD

，
∴△PFD≌△QCD（ASA）
∴DF=DC，
∴DF+EF=DC+AE，
∴DE=

1

2

AC，
∴DE=4

2

cm．
故答案為：4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．