Question

如圖①，平面直角坐標系中，已知C（0，10），點P、Q同時從點O出發(fā)，在線段OC上做往返勻速運動，設(shè)運動時間為t（s），點P、Q離開點O的距離為S，圖②中線段OA、OB（A、B都在格點上）分別表示當0≤t≤6時P、Q兩點離開點O的距離S與運動時間t（s）的函數(shù)圖象．
（1）請在圖②中分別畫出當6≤t≤10時P、Q兩點離開點O的距離S與運動時間t（s）的函數(shù)圖象．
（2）求出P、Q兩點第一次相遇的時刻．
（3）如圖①，在運動過程中，以O(shè)P為一邊畫正方形OPMD，點D在x軸正半軸上，作QE∥PD交x軸于E，設(shè)△PMD與△OQE重合部分的面積為y，試求出當0≤t≤10時y與t（s）的函數(shù)關(guān)系式（寫出相應(yīng)的t的范圍）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題,圖表型,分類討論

分析：（1）根據(jù)0≤t≤6時的函數(shù)圖象求出P、Q的速度，再求出P到達10時的時間，然后補全圖形，求出Q到達10時的時間，以及10秒時的路程，再補全圖形即可；
（2）根據(jù)相遇時，點P、Q行駛的路程之和等于OC的2倍列出方程求解即可；
（3）分①點Q到達點C前，②點Q到達點C后返回至相遇前，重合部分為兩個等腰直角三角形的面積的差，③P、Q相遇后，沒有重合部分三種情況列式整理即可得解．

解答：解：（1）由圖可知，點P的速度為：6÷6=1單位/秒，
點Q的速度為：9÷6=

3

2

單位/秒，
∴點P到達點C的時間為10÷1=10秒，
點Q到達點C的時間為10÷

3

2

=

20

3

秒，
10秒時，返回的路程為10×1.5-10=5單位，
補全圖形如圖所示；

（2）設(shè)t秒時，P、Q兩點第一次相遇，
由題意得，t+

3

2

t=10×2，
解得t=8；

（3）①點Q到達點C前，0≤t≤

20

3

，
重合部分面積y=

1

2

t²-

1

2

[t-（

3

2

t-t）]²，
=

1

2

t²-

1

8

t²，
=

3

8

t²；
②點Q到達點C后返回至相遇前，

20

3

＜t＜8，
重合部分面積y=

1

2

t²-

1

2

[t-（20-

3

2

t-t）]²，
=

1

2

t²-

1

2

（

7

2

t-20）²，
=-

45

8

t²+70t-200，
③P、Q相遇后，8≤t≤10，沒有重合部分，
所以，y=0．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了路程、速度、時間三者之間的關(guān)系，相遇問題的等量關(guān)系，難點在于（3）分情況討論并判斷出重合部分是兩個等腰直角三角形的面積的差．