【題目】如圖1,在△ABC中,AB=BC,點D、E分別在邊BC,AC上,連接DE,且DE=DC.
(1)問題發(fā)現(xiàn):若∠ACB=∠ECD=45°,則= .
(2)拓展探究:若∠ACB=∠ECD=30°,將△EDC饒點C按逆時針旋轉(zhuǎn)α度(0°<α<180°),圖2是旋轉(zhuǎn)過程中的某一位置,在此過程中的大小有無變化?如果不變,請求出的值,如果變化,請說明理由;
(3)問題解決:若∠ABC=∠EDC=β(0°<β<90°),將△EDC旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時,則的值為 .(用含β的式子表示)
【答案】(1);(2)不變化,理由詳見解析;(3)2cosβ.
【解析】
(1)如圖1,過E作EF⊥AB于F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠C=∠DEC=45°,于是得到∠B=∠EDC=90°,推出四邊形EFBD是矩形,得到EF=BD,推出△AEF是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到結(jié)論;
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到,即,根據(jù)角的和差得到∠ACE=∠BCD,求得△ACE∽△BCD,證得,過點B作BF⊥AC于點F,則AC=2CF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
解:(1)如圖1,過E作EF⊥AB于F,
∵BA=BC,DE=DC,∠ACB=∠ECD=45°,
∴∠A=∠C=∠DEC=45°,
∴∠B=∠EDC=90°,
∴四邊形EFBD是矩形,
∴EF=BD,
∴EF∥BC,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴,
故答案為:;
(2)此過程中的大小有變化,
由題意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,
∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°,
∴△ABC∽△EDC,
∴,即,
又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE∽△BCD,
∴,
在△ABC中,如圖2,過點B作BF⊥AC于點F,
則AC=2CF,
在Rt△BCF中,CF=BCcos30°=BC,
∴AC=BC.
∴=;
(3)由題意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,且∠ACB=∠ECD=β,
∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β,
∴△ABC∽△EDC,
∴,即,
又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE∽△BCD,
∴,
在△ABC中,如圖3,過點B作BF⊥AC于點F,則AC=2CF,
在Rt△BCF中,CF=BCcosβ,
∴AC=2BCcosβ.
∴=2cosβ,
故答案為2cosβ.
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【題目】先閱讀,再填空解題:
(1)方程:的根是:________,________,則________,________.
(2)方程的根是:________,________,則________,________.
(3)方程的根是:________,________,則________,________.
(4)如果關(guān)于的一元二次方程(且、、為常數(shù))的兩根為,,
根據(jù)以上(1)(2)(3)你能否猜出:,與系數(shù)、、有什么關(guān)系?請寫出來你的猜想并說明理由.
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【題目】已知點A(﹣3,y1),B(2,y2)均在拋物線y=ax2+bx+c上,點P(m,n)是該拋物線的頂點,若y1>y2≥n,則m的取值范圍是( )
A.﹣3<m<2B.﹣<m<-C.m>﹣D.m>2
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【題目】將一矩形紙片放在直角坐標系中,為原點,在軸上,,.
(1)如圖①,在上取一點,將沿折疊,使點落在邊上的點,求點的坐標;
(2)如圖②,在、邊上選取適當?shù)狞c、,將沿折疊,使點落在邊上點,過作交于點,交于點,設的坐標為,求與之間的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,若,求的面積.(直接寫出結(jié)果即可)
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【題目】在中, 是直線上的一點,連接過點作交直線于點.
當點在線段上時,如圖①,求證:;
當點在直線上移動時,位置如圖②、圖③所示,線段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請直接寫出你的猜想,不需證明.
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【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,其頂點坐標為(1,n),拋物線與x軸的一個交點在點(3,0)和(4,0)之間.則下列結(jié)論
①a-b+c>0;②3a+b=0;
③b2=4a(c-n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數(shù)根.
其中正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,平面直角坐標系中,拋物線y=x2﹣2x與x軸交于O、B兩點,頂點為P,連接OP、BP,直線y=x﹣4與y軸交于點C,與x軸交于點D.
(1)寫出點B坐標;判斷△OBP的形狀;
(2)將拋物線沿對稱軸平移m個單位長度,平移的過程中交y軸于點A,分別連接CP、DP;
(i)若拋物線向下平移m個單位長度,當S△PCD= S△POC時,求平移后的拋物線的頂點坐標;
(ii)在平移過程中,試探究S△PCD和S△POD之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系及對應的m的取值范圍.
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【題目】在平面直角坐標系中,正方形的位置如圖所示,點的坐標為,點的坐標為,延長交軸于點,作正方形;延長交軸于點,作正方形;…,按照這樣的規(guī)律作正方形,則點的縱坐標為__________.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點A、B的坐標分別是A(-1,0)、B(4,5),拋物線+b+c經(jīng)過A、B兩點
(1)求拋物線的解析式;
(2)點M是線段AB上的一點(不與A、B重合),過M作軸的垂線交拋物線與點N,求線段MN的最大值,并求出點M、N的坐標;
(3)在(2)的條件下,在拋物線上是否存在點P,使得⊿PMN是以MN為直角邊的直角三角形?若存在求出點P的坐標,若不存在請說明理由.
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