【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=x2﹣2x與x軸交于O、B兩點(diǎn),頂點(diǎn)為P,連接OP、BP,直線y=x﹣4與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D.
(1)寫出點(diǎn)B坐標(biāo);判斷△OBP的形狀;
(2)將拋物線沿對稱軸平移m個(gè)單位長度,平移的過程中交y軸于點(diǎn)A,分別連接CP、DP;
(i)若拋物線向下平移m個(gè)單位長度,當(dāng)S△PCD= S△POC時(shí),求平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(ii)在平移過程中,試探究S△PCD和S△POD之間的數(shù)量關(guān)系,直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系及對應(yīng)的m的取值范圍.
【答案】(1)(2,0);等腰直角三角形;(2)(i)或;(ii)當(dāng)m≥2時(shí),S△POD﹣S△PCD=6;當(dāng)﹣1≤m<2時(shí),S△POD+S△PCD=6;當(dāng)m<﹣1時(shí),S△POD﹣S△PCD=6.
【解析】
(1)根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系,可得B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)配方法,可得頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)勾股定理及勾股定理的逆定理,可得答案;
(2)根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系,可得C,D,M點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)平移規(guī)律,可得P點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo),可得PM的長,(i)根據(jù)面積的關(guān)系,可得關(guān)于m的方程,根據(jù)解方程,可得到頂點(diǎn)坐標(biāo);(ii)根據(jù)三角形的面積,可得答案.
(1)當(dāng)y=0時(shí),x2﹣2x=0,解得x=0(舍)或x=2,即B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),
∵拋物線y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,﹣1),由勾股定理,得
OP2=(2﹣1)2+12=2,
∴OP2+BP2=OB2 , OP=BP,
∴△OBP是等腰直角三角形,
(2)解:∵直線y=x﹣4與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)D,
∴C(0,﹣4),D(4,0),當(dāng)x=1時(shí),y=﹣3,即M(1,﹣3),
拋物線向下平移m個(gè)單位長度,解析式為y=(x﹣1)2﹣(1+m),P(1,﹣1﹣m),
∴
S△PCD=S△PMC+S△PMD= PM|xP﹣xC|= |m﹣2|×4=2|m﹣2|,
(i)S△POC= AC|xP|= ×4×1=2,
∵S△PCD= S△POC,
∴S△PCD=2|m﹣2|=2 ,
解得m=2+ 或m=2﹣ ,
∴或;
(ii)
①當(dāng)m≥2時(shí),S△PCD=2|m﹣2|=2m﹣4,S△POD=2|m+1|=2m+2,
∴S△POD﹣S△PCD=6
②當(dāng)﹣1≤m<2時(shí),S△PCD=2|m﹣2=4﹣2m,S△POD=2|m+1|=2m+2,
∴S△POD+S△PCD=6
③當(dāng)m<﹣1時(shí),S△PCD=2|m﹣2|=4﹣2m,S△POD=2|m+1|=2﹣2m,
∴S△POD﹣S△PCD=6,
綜上所述:當(dāng)m≥2時(shí),S△POD﹣S△PCD=6;當(dāng)﹣1≤m<2時(shí),S△POD+S△PCD=6;當(dāng)m<﹣1時(shí),S△POD﹣S△PCD=6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校與圖書館在同一條筆直道路上,甲從學(xué)校去圖書館,乙從圖書館回學(xué)校,甲、乙兩人都勻速步行且同時(shí)出發(fā),乙先到達(dá)目的地,兩人之間的距離(米)與時(shí)間(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示,則下列說法正確的是( )
①當(dāng)分鐘時(shí)甲乙兩人相遇;
②甲的速度為40米/分鐘;
③乙的速度為50米/分鐘;
④乙到達(dá)目的地時(shí),甲離目的地的距離為800米.
A.①②B.③④C.①②④D.①②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A為某旅游景區(qū)的最佳觀景點(diǎn),游客可從B處乘坐纜車先到達(dá)小觀景平臺DE觀景,然后再由E處繼續(xù)乘坐纜車到達(dá)A處,返程時(shí)從A處乘坐升降電梯直接到達(dá)C處,已知:AC⊥BC于C,DE∥BC,BC=110米,DE=9米,BD=60米,α=32°,β=68°,求AC的高度.(參考數(shù)據(jù):sin32°≈0.53;cos32°≈0.85;tan32°≈0.62;sin68°≈0.93;cos68°≈0.37;tan68°≈2.48)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中,∠BAD+∠BCD=180°, AC平分∠BAD,過點(diǎn)C作CE⊥AD,垂足為E, CD=4,AE=10,則四邊形ABCD的周長是____________________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC以每秒4個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)C移動(dòng),如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā),那么△PBQ的面積S隨出發(fā)時(shí)間t(s)如何變化?寫出函數(shù)關(guān)系式及t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計(jì)算:
(1)(﹣3x2)(x3y)2;
(2)(x﹣5)(2x+1);
(3)(a﹣2)2﹣(a﹣1)(a+1);
(4)(3a﹣b+)(3a﹣b﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,為邊上的中線,點(diǎn)在上,以點(diǎn)為圓心,長為半徑畫弧,交的延長線于點(diǎn),點(diǎn)在上,且,連接.
(1)依題意補(bǔ)全圖形;
(2)求證:;
(3)若平分,則與滿足的等量關(guān)系為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知AB∥CD.
(1)發(fā)現(xiàn)問題:若∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,則∠F與∠E的等量關(guān)系為 .
(2)探究問題:若∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE.猜想:∠F與∠E的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(3)歸納問題:若∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE.直接寫出∠F與∠E的等量關(guān)系.
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【題目】如圖,在ABCD中, 對角線AC、BD相交于點(diǎn)O. E、F是對角線AC上的兩個(gè)不同點(diǎn),當(dāng)E、F兩點(diǎn)滿足下列條件時(shí),四邊形DEBF不一定是平行四邊形( ).
A.AE=CFB.DE=BFC.D.
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