Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別是A(-1,0)、B（4,5），拋物線+b+c經(jīng)過A、B兩點

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M是線段AB上的一點（不與A、B重合），過M作軸的垂線交拋物線與點N，求線段MN的最大值，并求出點M、N的坐標；

（3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點P，使得⊿PMN是以MN為直角邊的直角三角形？若存在求出點P的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）-2-3；（2）MN的最大值為，M、N的坐標分別為M(), N的坐標為N() ；（3）,,

【解析】

（1）直接把A、B兩點的坐標代入拋物線，即可求出解析式；

（2）先求出直線AB的解析式，然后設(shè)點M為（x，x+1），N（），然后得到MN，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出MN的最大值；

（3）根據(jù)題意，可分為：①當以點M為直角三角形的頂點時；②當以點N為直角三角形的頂點時；結(jié)合點M、N的縱坐標，即可求出點P的坐標．

解：（1）∵拋物線經(jīng)過A(-1,0)、B（4,5）兩點，

∴，

解得：b=，c=，

∴拋物線的解析式：；

（2）∵直線AB經(jīng)過A(-1,0)、B（4,5）兩點，設(shè)，

∴得方程組解得：k=1 ，b=1 ，

∴直線AB的解析式為；

設(shè)M的坐標為M(), N的坐標為N()，

MN=；

∴當時，MN的最大值為，

∴，，

∴M、N的坐標分別為M()，N的坐標為N() ；

（3）在拋物線上是存在點P，使得△PMN是以MN為直角邊的直角三角形；

理由如下：如圖，

①當以點M為直角三角形的頂點時，，

∴，

解得：=，=；

②當以點N為直角三角形的頂點時，，

∴，

解得：，=（舍去）；

∴點P的坐標分別為：，，．