Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作正方形；延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作正方形；…，按照這樣的規(guī)律作正方形，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據(jù)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似，證明△AOD和△A1BA相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可以得到AB=2A1B，所以正方形的邊長(zhǎng)等于正方形ABCD邊長(zhǎng)的，以此類推，后一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)的，即后一個(gè)三角形與前一個(gè)三角形的相似比為，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)的值為三角形的高，因此B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值依次增大倍．

解：，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，

∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

又∵在坐標(biāo)平面內(nèi)，∠DAO+∠ADO=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

在△AOD和△A1BA中，

，

∴△AOD∽△A1BA，

∴OD：AO=AB：A1B=2，

∴BC=2A1B，

∴，

過(guò)點(diǎn)B作BE⊥x軸，

易證，

∴BE=OA=1，

即B點(diǎn)縱坐標(biāo)的值為1，

∴縱坐標(biāo)的值為：，

∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)的值為：．

故答案為：．