【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形OABC的頂點(diǎn)A和C分別在x軸和y軸正半軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,3),拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)A、C,交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)D,與BC邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E,拋物線的頂點(diǎn)為M,對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)N.
(1)求拋物線的函數(shù)關(guān)系式;
(2)點(diǎn)P在直線MN上,求當(dāng)PE+PA的值最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)如圖2,探索在x軸是否存在一點(diǎn)F,使∠CFO=∠CDO﹣∠CAO?若存在,求點(diǎn)F的坐標(biāo);不存在,說明理由;
(4)將拋物線沿y軸方向平移m個(gè)單位后,頂點(diǎn)為Q,若QO平分∠CQN,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)P(1,2)(3)F(6,0),(-6,0);(4)Q(1, ),(1, )
【解析】試題分析:(1)由已知條件易得點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;(2)AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是P,利用待定系數(shù)法求得AC的解析式,即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)在y軸的正半軸上截取OH=OD=1,則H的坐標(biāo)是(0,1),延長(zhǎng)DH交AC于點(diǎn)G,則DG⊥AC,∠CDH=∠CDO﹣∠CAO,當(dāng)F在x軸的負(fù)半軸上時(shí),當(dāng)∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO時(shí),則△CFO∽△CDG,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求得OF的長(zhǎng),則F的坐標(biāo)即可求得,然后根據(jù)對(duì)稱性求得F在x軸的正半軸時(shí)的坐標(biāo);
(4)當(dāng)拋物線沿y軸的正半軸移動(dòng)時(shí),Q的橫坐標(biāo)是1,QO平分∠CQN,則CQ=OC,利用勾股定理即可求得Q的縱坐標(biāo);同理求得拋物線沿y軸的負(fù)半軸移動(dòng)時(shí)Q的坐標(biāo).
試題解析: 解:(1)∵四邊形OABC是正方形,B的坐標(biāo)是(3,3),
∴A的坐標(biāo)是(3,0),C的坐標(biāo)是(0,3).
根據(jù)題意得,
解得:,
則二次函數(shù)的解析式是y=﹣x2+2x+3;
(2)設(shè)直線AC的解析式是y=ax+b,
,
解得:,
則直線AC的解析式是y=﹣x+3,
當(dāng)x=1時(shí),y=﹣1+3=2,
則P的坐標(biāo)是(1,2);
(3)在y=﹣x2+2x+3中令y=0,則﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或x=3.
則D的坐標(biāo)是(﹣1,0)A的坐標(biāo)是(3,0).
在y軸的正半軸上截取OH=OD=1,則H的坐標(biāo)是(0,1),延長(zhǎng)DH交AC于點(diǎn)G,則DG⊥AC;
∵直角△ODF中,OH=OD,
∴∠HDO=45°,
同理,∠CAO=45°,
∴∠HDO=∠CAO.則∠CDH=∠CDO﹣∠CAO.
當(dāng)F在x軸的負(fù)半軸上時(shí),
設(shè)DG的解析式是y=ex+f,則,
解得,則DG的解析式是y=x+1.
根據(jù)題意得:,
解得:,
則G的坐標(biāo)是(1,2).
則DG=,CD=,CG=.
當(dāng)∠CFO=∠CDH=∠CDO﹣∠CAO時(shí),△CFO∽△CDG,
則,即,解得:OF=6,
則F的坐標(biāo)是(﹣6,0).
根據(jù)對(duì)稱性可得當(dāng)F在x軸的正半軸上時(shí)F的坐標(biāo)是(6,0);
(4)當(dāng)拋物線沿y軸的正半軸移動(dòng)時(shí),如圖3,
設(shè)Q的坐標(biāo)是(1,n).作QI⊥y軸于點(diǎn)I.則IQ=1,IC=n﹣3,
則QO平分∠CQN,則CQ=OC=3,12+(n﹣3)2=32,
解得:n=3+2,
則Q的坐標(biāo)是(1,3+2);
同理,當(dāng)拋物線沿y軸的負(fù)方向移動(dòng)時(shí)Q的坐標(biāo)是(1,3﹣2).
總之,Q的坐標(biāo)是(1,3+2)或(1,3﹣2).
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【題目】(1)5(a2b-ab2)-2(ab2+3a2b);
(2)-2a+(3a-1)-(a-5);
(3)先化簡(jiǎn),再求值:x-2(x-y2)+(x+y2),其中x=-2,y=.
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【題目】某市舉辦中學(xué)生足球賽,初中男子組共有市直學(xué)校的A、B兩隊(duì)和縣區(qū)學(xué)校的e、f、g、h四隊(duì)報(bào)名參賽,六支球隊(duì)分成甲、乙兩組,甲組由A、e、f三隊(duì)組成,乙組由B、g、h三隊(duì)組成,現(xiàn)要從甲、乙兩組中各隨機(jī)抽取一支球隊(duì)進(jìn)行首場(chǎng)比賽.
(1)在甲組中,首場(chǎng)比賽抽到e隊(duì)的概率是 ;
(2)請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法,求首場(chǎng)比賽出場(chǎng)的兩個(gè)隊(duì)都是縣區(qū)學(xué)校隊(duì)的概率.
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【題目】如圖,直角坐標(biāo)平面內(nèi),小明站在點(diǎn)A(﹣10,0)處觀察y軸,眼睛距地面1.5米,他的前方5米處有一堵墻DC,若墻高DC=2米,則小明在y軸上的盲區(qū)(即OE的長(zhǎng)度)為_____米.
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【題目】如圖,在平行四邊形ABCD中,過點(diǎn)A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn),且∠AFE=∠B.
(1)求證:∠DAF=∠CDE;
(2)求證:△ADF∽△DEC;
(3)若AE=6,AD=8,AB=7,求AF的長(zhǎng).
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【題目】四川雅安發(fā)生地震后,某校學(xué)生會(huì)向全校1900名學(xué)生發(fā)起了“心系雅安”捐款活動(dòng),為了解捐款情況,學(xué)會(huì)生隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的捐款金額,并用得到的數(shù)據(jù)繪制了如下統(tǒng)計(jì)圖①和圖②,請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息,解答下列是問題:
(1)本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為 ,圖①中m的值是 ;
(2)求本次調(diào)查獲取的樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù);
(3)根據(jù)樣本數(shù)據(jù),估計(jì)該校本次活動(dòng)捐款金額為10元的學(xué)生人數(shù).
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【題目】在同一坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣mx+n2與二次函數(shù)y=x2+m的圖象可能是( 。
A. B. C. D.
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【題目】小明家想要從某場(chǎng)購買洗衣機(jī)和烘干機(jī)各一臺(tái),現(xiàn)在分別從兩個(gè)品牌中各選中一款洗衣機(jī)和一款烘干機(jī),它們的單價(jià)如表1所示.目前該商場(chǎng)有促銷活動(dòng),促銷方案如表2所示.
表2:商場(chǎng)促銷方案
1. 所有商品均享受8折優(yōu)惠.
2. 所有洗衣機(jī)均可享受節(jié)能減排補(bǔ)
貼,補(bǔ)貼標(biāo)準(zhǔn)為:在折后價(jià)的基礎(chǔ)t.
再減免13%。
3.若同時(shí)購買同品牌洗 衣機(jī)和烘干
機(jī),額外可享受“滿兩件減400元"
則選擇_____品種的洗衣機(jī)和_____品種的烘干機(jī)支付總費(fèi)用最低,支付總費(fèi)用最低為___________元.
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【題目】如圖,已知∠1=∠2,則下列條件中,不能使△ABC≌△DBC成立的是 ( 。
A. AB=CD B. AC=BD C. ∠A=∠D D. ∠ABC=∠DCB
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