Question

10．如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對(duì)角線BD平分∠ABC，P是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別為M，N．
（1）求證：點(diǎn)A與C關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)．
（2）若∠ADC=90°，求證四邊形MPND為正方形．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)角平分線的定義求出∠ABD=∠CBD，然后在△ABD和△CBD中，根據(jù)SAS證明兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而得到∠ADB=∠CDB，AD=CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BD垂直平分AC，進(jìn)而可得點(diǎn)A與C關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)；
（2）首先證明四邊形PMDN是矩形，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得PM=PN，進(jìn)而可得四邊形MPND為正方形．

解答 證明：（1）連接AC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠DCB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，DA=DC，
∴BD垂直平分AC，
∴點(diǎn)A與C關(guān)于直線BD對(duì)稱(chēng)；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四邊形PMDN是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴BD平分∠ADC，
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN，
∴四邊形MPND為正方形．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了正方形的判定，以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一，鄰邊相等的矩形是正方形．