Question

已知一元二次方程4x²-7x+1=0的兩個根分別為α，β，不解方程，求下列各式的值：
（1）αβ³+α³β；
（2）

β

α

+

α

β

．

Answer 1

考點：根與系數的關系

專題：計算題

分析：根據根與系數的關系得到α+β=

7

4

，αβ=

1

4

，
（1）利用因式分解和完全平方公式把原式變形為αβ[（α+β）²-2αβ]，然后利用整體代入的方法計算；
（2）先通分，再利用完全平方公式變形得到原式=

(α+β)2-2αβ

αβ

，然后利用整體代入的方法計算．

解答：解：根據題意得α+β=

7

4

，αβ=

1

4

，
（1）原式=αβ（α²+β²）=αβ[（α+β）²-2αβ]=

1

4

[（

7

4

）²-2×

1

4

]=

41

64

；
（2）原式=

α2+β2

αβ

=

(α+β)2-2αβ

αβ

=

( 7 4 )2-2× 1 4

1 4

=

41

4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．