Question

如圖：梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD．
（1）求證：△ABC∽△DCA．
（2）若AC=6，BC=9，試求梯形ABCD的中位線m的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),梯形,梯形中位線定理

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠DAC=∠ACB，然后根據(jù)∠B=∠ACD，即可證得兩個(gè)三角形相似；
（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得AD的長，然后利用梯形的中位線定理求得m的值．

解答：（1）證明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△DCA；

（2）解：∵△ABC∽△DCA，
∴

AD

AC

=

AC

BC

，即

AD

6

=

6

9

，
解得：AD=4．
∴m=

1

2

（AD+BC）=

1

2

×（4+9）=

13

2

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及梯形的中位線定理，證明兩個(gè)三角形相似最常用的方法是證明兩組角對應(yīng)相等．