Question

已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且交AC于點(diǎn)P，連結(jié)AD．
（1）求證：∠DAC=∠DBA；
（2）求證：P是線段AF的中點(diǎn)；
（3）連接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半徑和DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)得出∠CBD=∠DBA，進(jìn)而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性質(zhì)得出∠DAC=∠ADE，進(jìn)而得出∠DAC=∠DBA；
（2）利用圓周角定理得出∠ADB=90°，進(jìn)而求出∠PDF=∠PFD，則PD=PF，求出PA=PF，即可得出答案；
（3）利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)，再利用三角形面積求出DE即可．

解答：（1）證明：∵BD平分∠CBA，
∴∠CBD=∠DBA，
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對(duì)的圓周角，
∴∠DAC=∠CBD，
∴∠DAC=∠DBA，
∵AB是⊙O的直徑，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，
∴∠ADE=∠DBA，
∴∠DAC=∠ADE，
∴∠DAC=∠DBA；

（2）證明：∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∵DE⊥AB于E，
∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠ABD+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠ABD=∠DAP，
∴PD=PA，
∵∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°，
∴∠PDF=∠PFD，
∴PD=PF，
∴PA=PF，即P是線段AF的中點(diǎn)；

（3）解：連接CD，
∵∠CBD=∠DBA，
∴CD=AD，
∵CD﹦3，∴AD=3，
∵∠ADB=90°，
∴AB=5，
故⊙O的半徑為2.5，
∵DE×AB=AD×BD，
∴5DE=3×4，
∴DE=2.4．
即DE的長(zhǎng)為2.4．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合以及圓周角定理和勾股定理以及三角形面積等知識(shí)，熟練利用圓周角定理得出各等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．