【題目】已知在△ABC中,ABAC,∠BACα,直線l經(jīng)過點A(不經(jīng)過點B或點C),點C關(guān)于直線l的對稱點為點D,連接BD,CD.

(1)如圖1

①求證:點B,C,D在以點A為圓心,AB為半徑的圓上.

②直接寫出∠BDC的度數(shù)(用含α的式子表示)______.

(2)如圖2,當(dāng)α60°時,過點DBD的垂線與直線l交于點E,求證:AEBD.

(3)如圖3,當(dāng)α90°時,記直線lCD的交點為F,連接BF.將直線l繞點A旋轉(zhuǎn),當(dāng)線段BF的長取得最大值時,直接寫出tanFBC的值.

【答案】(1)①證明見解析;②(2)證明見解析;(3)tanFBC.

【解析】

1由線段垂直平分線的性質(zhì)可得ADACAB,即可證點BC,D在以點A為圓心,AB為半徑的圓上;

由圓周角定理可得∠BAC2∠BDC,可求∠BDC的度數(shù);

2)連接CE,由題意可證△ABC,△DCE是等邊三角形,可得ACBC,∠DCE60°∠ACB,CDCE,根據(jù)“SAS”可證△BCD≌△ACE,可得AEBD;

3)取AC的中點O,連接OBOF,BF,由三角形的三邊關(guān)系可得,當(dāng)點O,點B,點F三點共線時,BF最長,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可求,OHHC,BH3HC,即可求tan∠FBC的值.

證明:(1如圖1,連接DA

C關(guān)于直線l的對稱點為點D,

∴ADAC,且ABAC,

∴ADABAC

B,C,D在以點A為圓心,AB為半徑的圓上;

②∵BC,D在以點A為圓心,AB為半徑的圓上,

∴∠BDC;

2)如圖2,連接CE,

∵∠BAC60°,ABAC,

∴△ABC是等邊三角形,

∴BCAC,∠ACB60°,

∵∠BDC,

∴∠BDC30°

∵BD⊥DE,

∴∠CDE60°

C關(guān)于直線l的對稱點為點D,

∴DECE,且∠CDE60°,

∴△CDE是等邊三角形,

∴CDCEDE,∠DCE60°∠ACB,

∴∠BCD∠ACE,且ACBC,CDCE,

∴△BCD≌△ACE(SAS),

∴BDAE;

3)如圖3,取AC的中點O,連接OB,OFBF,

△BOF中,BO+OF≥BC,

當(dāng)點O,點B,點F三點共線時,BF最長,

如圖,過點OOH⊥BC,

∵∠BAC90°,ABAC,

∴BCAC,∠ACB45°

∴∠COH∠HCO45°,

∴OHHC

∴OCHC,

OAC中點,

∴AC2HC,

∴BC4HC

∴BHBCHC3HC,

∴tan∠FBC.

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