Question

數學問題：各邊長都是整數，最大邊長為21的三角形有多少個？
為解決上面的數學問題，我們先研究下面的數學模型：
數學模型：在1到21這21個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于21，有多少種不同的取法？
為了找到解決問題的方法，我們把上面數學模型簡單化．
（1）在1～4這4個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于4，有多少種不同的取法？
根據題意，有下列取法：1+4，2+3，2+4，3+2，3+4，4+1，4+2，4+3；而1+4與4+1，2+3與3+2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有

1+2+2+3

2

=4=

42

4

種不同的取法．
（2）在1～5這5個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于5，有多少種不同的取法？
根據題意，有下列取法： 1+5，2+4，2+5，3+4，3+5，4+2，4+3，4+5； 5+1，5+2，5+3，5+4，而1+5與5+1，2+4與4+2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有

1+2+2+3+4

2

=6=

52-1

4

種不同的取法．
（3）在1～6這6個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于6，有多少種不同的取法？
根據題意，有下列取法：1+6，2+5，2+6，3+4，3+5，3+6，4+3，4+5，4+6，5+2，5+3，5+4，5+6，6+1，6+2，6+3，6+4，6+5；而1+6與6+1，2+5與5+2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有 

1+2+3+3+4+5

2

=9=

62

4

 種不同的取法．
（4）在1～7這7個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于7，有多少種不同的取法？
根據題意，有下列取法：1+7，2+6，2+7，3+5，3+6，3+7，4+5，4+6，4+7，5+3，5+4，5+6，5+7，6+2，6+3，6+4，6+5，6+7，7+1，7+2，7+3，7+4，7+5，7+6；而1+7與7+1，2+6與6+2，…是同一種取法，所以上述每一種取法都重復過一次，因此共有

1+2+3+3+4+5+6

2

=12=

72-1

4

種不同的取法…
問題解決：
依照上述研究問題的方法，解決上述數學模型和提出的問題
（1）在1～21這21個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于21，有

 

種不同的取法；（只填結果）
（2）在1～n（n為偶數）這n個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于n，有

 

種不同的取法；（只填最簡算式）
（3）在1～n（n為奇數）這n個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于n，有

 

種不同的取法；（只填最簡算式）
（4）各邊長都是整數，最大邊長為21的三角形有多少個？（寫出最簡算式和結果，不寫分析過程）
問題拓展：
（5）在1～100這100個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于100，有

 

種不同的取法；（只填結果）
（6）各邊長都是整數，最大邊長為11的三角形有多少個？（寫出最簡算式和結果，不寫分析過程）
（7）各邊長都是整數，最大邊長為31的三角形有多少個？（寫出最簡算式和結果，不寫分析過程）

Answer 1

考點：三角形邊角關系

專題：

分析：（1）首先根據題意可得規(guī)律：1～n，當n為偶數時，不同的取法有：

n2

4

，1～n，當n為奇數時：不同的取法有：

n2-1

4

；則可求得使得所取的兩個數之和大于21的不同取法；
（2）可得1～n，當n為偶數時，不同的取法有：

n2

4

；
（3）1～n，當n為奇數時：不同的取法有：

n2-1

4

；
（4）可得①每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于21，有110種不同的取法；②若另兩個數相同，則11+11，12+12，…，21+21，共11種不同的取法；繼而求得答案；
（5）根據規(guī)律，可求得在1～100這100個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于100，有2500種不同的取法；
（6）同（4）可求得各邊長都是整數，最大邊長為11的三角形有多少個；
（7）由（4）可得各邊長都是整數，最大邊長為31的三角形有多少個？

解答：解：（1）當n=21時，

212-1

4

=110．
故答案為：110；

（2）根據題意可得：1～n，當n為偶數時，不同的取法有：

n2

4

，
故答案為：

n2

4

；

（3）根據題意可得：1～n，當n為奇數時：不同的取法有：

n2-1

4

；
故答案為：

n2-1

4

；

（4）根據題意得：①每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于21，有110種不同的取法；
②若另兩個數相同，則11+11，12+12，…，21+21，共11種不同的取法；
∴各邊長都是整數，最大邊長為21的三角形有：110+21=131（個）；
答：各邊長都是整數，最大邊長為21的三角形有131個；

（5）在1～100這100個自然數中，每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于100，有

1002

4

=2500種不同的取法；
故答案為：2500；

（6）根據題意得：①每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于11，有

112-1

4

=30種不同的取法；
②若另兩個數相同，則5+5，6+6，…，11+11，共7種不同的取法；
∴各邊長都是整數，最大邊長為11的三角形有：30+11=41（個）；
答：各邊長都是整數，最大邊長為11的三角形有41個；

（7）根據題意得：①每次取兩個不同的數，使得所取的兩個數之和大于31，有

312-1

4

=240種不同的取法；
②若另兩個數相同，則16+16，17+17，…，31+31，共16種不同的取法；
∴各邊長都是整數，最大邊長為31的三角形有：240+16=156（個）；
答：各邊長都是整數，最大邊長為31的三角形有256個．

點評：此題考查了三角形的三邊關系．此題屬于規(guī)律題，能得到1～n，當n為偶數時，不同的取法有：

n2

4

，1～n，當n為奇數時：不同的取法有：

n2-1

4

；是解此題的關鍵．