Question

如圖所示，在直角坐標系中，點E從O點出發(fā)，以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，點F從O點出發(fā)，以2個單位/秒的速度沿y軸正方向運動，B（4，2），以BE為直徑作⊙O₁．
（1）若點E、F同時出發(fā)，設線段EF與線段OB交于點G，試判斷點G與⊙O₁的位置關系，并證明你的結論；
（2）在（1）的條件下，連結FB，幾秒時FB與⊙O₁相切？

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系,坐標與圖形性質,點與圓的位置關系

專題：動點型

分析：（1）要判斷點G與⊙O₁的位置關系，只需比較O₁G與⊙O₁的半徑O₁B的大��；
（2）如果t秒時FB與⊙O₁相切，那么∠FBE=90°；在RT△BEF與RT△OEF中，根據(jù)EF不變列出方程，求出t的值．

解答：解：（1）∵點B的坐標為（4，2），
又∵OE：OF=1：2，∠OFE=∠EOB．
∴∠FGO=90°，
又∵BE為⊙O₁的直徑，
∴點G在⊙O₁上．

（2）過點B作BM⊥OF，設
OE=x，則OF=2x，
BF²=BM²+FM²=4²+（2x-2）²=4x²-8x+20，BE²=（4-x）²+2²=x²-8x+20，
又∵OE²+OF²=BE²+BF²，
∴x²+4x²=5x²-16x+40，
∴x=

5

2

（x＞0），
即

5

2

秒時，BF與⊙O₁相切．

點評：本題綜合考查了切線的判定，三角函數(shù)等知識，解題中要善于抓住不變量，找到等量關系，題目有一定難度，可以考查學生的綜合實力．