Question

【題目】小明在學(xué)習(xí)“圓的對(duì)稱(chēng)性”時(shí)知道結(jié)論：垂直于弦的直徑一定平分這條弦，請(qǐng)嘗試解決問(wèn)題：如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，圓O是△ACB的外接圓．點(diǎn)D是圓O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，且BD平分∠ABE，

（1）判斷直線(xiàn)ED與圓O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）若AC＝12，BC＝5，求線(xiàn)段BE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）直線(xiàn)ED與⊙O相切，見(jiàn)解析；（2）4

【解析】

（1）直線(xiàn)ED與⊙O相切．連接OD．根據(jù)圓的性質(zhì)和等邊對(duì)等角可得∠ODB＝∠OBD，等量代換得到∠ODB＝∠DBE，根據(jù)平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)得到∠DEC＝∠ODE＝90°，再根據(jù)垂直的定義和性質(zhì)可得OD⊥DE，根據(jù)切線(xiàn)的判定即可求解；

（2）如圖，延長(zhǎng)DO交AC于點(diǎn)H，連結(jié)CO，構(gòu)建直角△ABC的中位線(xiàn)OH，運(yùn)用三角形中位線(xiàn)定理和勾股定理分別求得OH＝HO＝BC＝、AB＝13，結(jié)合圖形找到相關(guān)線(xiàn)段間的和差關(guān)系求得線(xiàn)段BE的長(zhǎng)度即可．

（1）如圖，連接OD．

∵OB＝OD，

∴∠ODB＝∠OBD，

又∵∠OBD＝∠DBE，

∴∠ODB＝∠DBE，

∴OD∥BE，

又∵DE⊥BC，

∴∠DEC＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

又∵OD為半徑，

∴直線(xiàn)ED與⊙O相切；

（2）如圖，延長(zhǎng)DO交AC于點(diǎn)H，連結(jié)CO，

∵OD∥BE，∠ODE＝90°，

∴∠OHC＝90°，即OH⊥AC，

又∵OA＝OC，

∴AH＝CH，又由O是AB的中點(diǎn)，

∴HO是△ABC的中位線(xiàn)，

∴HO＝BC＝．

∵AC為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴AC＝12，BC＝5，

∴AB＝＝＝13，

∴OA＝OD＝AB＝．

∴HD＝HO+OD＝9

由四邊形CEDH是矩形，

∴CE＝HD＝9，

∴CE＝9，

∴BE＝CE﹣BC＝4．