【題目】如圖,⊙O的半徑為2,弦AB的長為2,點C是優(yōu)弧AB上的一動點,BD⊥BC交直線AC于點D,當點C從△ABC面積最大時運動到BC最長時,點D所經過的路徑長為_____.
【答案】π
【解析】
如圖,以AB為邊向上作等邊三角形△ABF,連接OA,OB,OF,DF,OF交AB于H.說明點D的運動軌跡是以F為圓心,FA為半徑的圓,再利用弧長公式求解即可.
如圖,以AB為邊向上作等邊三角形△ABF,連接OA,OB,OF,DF,OF交AB于H.
∵FA=FB,OA=OB,
∴OF⊥AB,AH=BH=,
∴sin∠BOH=,
∴∠BOH=∠AOH=60°,
∴∠AOB=120°
∴∠C=∠AOB=60°,
∵DB⊥BC,
∴∠DBC=90°,
∴∠CDB=30°,
∵∠AFB=60°,
∴∠ADB=∠AFB,
∴點D的運動軌跡是以F為圓心,FA為半徑的圓,
∵當點C從△ABC面積最大時運動到BC最長時,BC繞點B順時針旋轉了30°,
∴BD繞點B也旋轉了30°,
∴點D的軌跡所對的圓心角為60°,
∴運動路徑的長,
故答案為:.
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【題目】如圖,已知△ABC中,∠C=90°,AC=BC=,將△ABC繞點A順時針方向旋轉60°到△AB′C′的位置,連接C′B,則C′B的長為( )
A. B. C. D. 1
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【題目】如圖,在正方形ABCD中,AB=4,AC與相交于點O,N是AO的中點,點M在BC邊上,P是OD的中點,過點P作PM⊥BC于點M,交于點N′,則PN-MN′的值為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,拋物線y=mx2+nx﹣3(m≠0)與x軸交于A(﹣3,0),B(1,0)兩點,與y軸交于點C,直線y=﹣x與該拋物線交于E,F兩點.
(1)求點C坐標及拋物線的解析式.
(2)P是直線EF下方拋物線上的一個動點,作PH⊥EF于點H,求PH的最大值.
(3)以點C為圓心,1為半徑作圓,⊙C上是否存在點D,使得△BCD是以CD為直角邊的直角三角形?若存在,直接寫出D點坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,等邊△ABC與等腰三角形△EDC有公共頂點C,其中∠EDC=120°,AB=CE=2,連接BE,P為BE的中點,連接PD、AD
(1)為了研究線段AD與PD的數量關系,將圖1中的△EDC繞點C旋轉一個適當的角度,使CE與CA重合,如圖2,請直接寫出AD與PD的數量關系;
(2)如圖1,(1)中的結論是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,若∠ACD=45°,求△ACD的面積.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,BD是⊙O的直徑,AE⊥CD交CD的延長線于點E,DA平分∠BDE.
⑴求證:AE是⊙O的切線;
⑵若AE=4cm,CD=6cm,求AD的長.
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【題目】小明在學習“圓的對稱性”時知道結論:垂直于弦的直徑一定平分這條弦,請嘗試解決問題:如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,圓O是△ACB的外接圓.點D是圓O上一點,過點D作DE⊥BC,垂足為E,且BD平分∠ABE,
(1)判斷直線ED與圓O的位置關系,并說明理由.
(2)若AC=12,BC=5,求線段BE的長.
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【題目】學校為了提高學生跳遠科目的成績,對全校500名九年級學生開展了為期一個月的跳遠科目強化訓練。王老師為了了解學生的訓練情況,強化訓練前,隨機抽取了該年級部分學生進行跳遠測試,經過一個月的強化訓練后,再次測得這部分學生的跳遠成績,將兩次測得的成績制作成圖所示的統(tǒng)計圖和不完整的統(tǒng)計表(滿分10分,得分均為整數).
根據以上信息回答下列問題:
(1)訓練后學生成績統(tǒng)計表中,并補充完成下表:
(2)若跳遠成績9分及以上為優(yōu)秀,估計該校九年級學生訓練后比訓練前達到優(yōu)秀的人數增加了多少?
(3)經調查,經過訓練后得到9分的五名同學中,有三名男生和兩名女生,王老師要從這五名同學中隨機抽取兩名同學寫出訓練報告,請用列表或畫樹狀圖的方法,求所抽取的兩名同學恰好是一男一女的概率.
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