【題目】如圖1,已知點(diǎn)A(a,0),B(0,b),且a、b滿足=0, □ABCD的邊AD與y軸交于點(diǎn)E(0,2),且E為AD中點(diǎn),雙曲線經(jīng)過C、D兩點(diǎn).
(1)求k的值;
(2)點(diǎn)P在雙曲線上,點(diǎn)Q在y軸上,若以點(diǎn)A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,試求滿足要求的所有點(diǎn)P、Q的坐標(biāo);
(3)以線段AB為對(duì)角線作正方形AFBH(如圖3),點(diǎn)T是邊AF上一動(dòng)點(diǎn),M是HT的中點(diǎn),MN⊥HT,交AB于N,當(dāng)T在AF上運(yùn)動(dòng)時(shí),的值是否發(fā)生改變?若改變,求出其變化范圍;若不改變,請(qǐng)求出其值,并給出你的證明.
【答案】(1)k=4;(2)P1(1,4),Q1(0,6);P2(-1,-4),Q2(0,-6);P3(-1,-4),Q3(0,2);(3).
【解析】
試題(1)先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值,故可得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)D(1,t),由DC∥AB,可知C(2,t﹣2),再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出t的值即可;
(2)由(1)知k=4可知反比例函數(shù)的解析式為,再由點(diǎn)P在雙曲線上,點(diǎn)Q在y軸上,設(shè)Q(0,y),P(x,),再分以AB為邊和以AB為對(duì)角線兩種情況求出x的值,故可得出P、Q的坐標(biāo);
(3)連NH、NT、NF,易證NF=NH=NT,故∠NTF=∠NFT=∠AHN,∠TNH=∠TAH=90°,MN= HT由此即可得出結(jié)論.
試題解析:解:(1)∵ ,∴,解得:,∴A(﹣1,0),B(0,﹣2),∵E為AD中點(diǎn),∴xD=1,設(shè)D(1,t),又∵DC∥AB,∴C(2,t﹣2),∴t=2t﹣4,∴t=4,∴k=4;
(2)∵由(1)知k=4,∴反比例函數(shù)的解析式為,∵點(diǎn)P在雙曲線上,點(diǎn)Q在y軸上,∴設(shè)Q(0,y),P(x,),①當(dāng)AB為邊時(shí):
如圖1所示:若ABPQ為平行四邊形,則 =0,解得x=1,此時(shí)P1(1,4),Q1(0,6);
如圖2所示;若ABQP為平行四邊形,則,解得x=﹣1,此時(shí)P2(﹣1,﹣4),Q2(0,﹣6);
②如圖3所示;當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí):AP=BQ,且AP∥BQ;
∴,解得x=﹣1,∴P3(﹣1,﹣4),Q3(0,2);
故P1(1,4),Q1(0,6);P2(﹣1,﹣4),Q2(0,﹣6);P3(﹣1,﹣4),Q3(0,2);
(3)連NH、NT、NF,∵MN是線段HT的垂直平分線,∴NT=NH,∵四邊形AFBH是正方形,∴∠ABF=∠ABH,在△BFN與△BHN中,∵BF=BH,∠ABF=∠ABH,BN=BN,∴△BFN≌△BHN,∴NF=NH=NT,∴∠NTF=∠NFT=∠AHN,四邊形ATNH中,∠ATN+∠NTF=180°,而∠NTF=∠NFT=∠AHN,所以,∠ATN+∠AHN=180°,所以,四邊形ATNH內(nèi)角和為360°,所以∠TNH=360°﹣180°﹣90°=90°,∴MN=HT,∴=.
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【題目】甲、乙兩種商品原來的單價(jià)和為100元.因市場(chǎng)變化,甲商品降價(jià)10%,乙商品提價(jià)40%,調(diào)價(jià)后兩種商品的單價(jià)和比原來的單價(jià)和提高了20%.甲、乙兩種商品原來的單價(jià)各是多少?
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【題目】如圖,將矩形紙片ABCD沿EF折疊,使點(diǎn)B與CD的中點(diǎn)B′重合,若AB=2,BC=3,則△FCB′與△B′DG的面積之比為( )
A.9:4
B.3:2
C.16:9
D.4:3
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【題目】如圖,點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上,點(diǎn)E、F分別在直線AD的兩側(cè),且AE=DF,∠A=∠D,AB=DC.
(1)求證:△ACE≌△DBF;
(2)求證:四邊形BFCE是平行四邊形.
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【題目】如圖,已知AB∥DC,AD∥BC,BE=DF,則圖中全等的三角形有( )
A. 3對(duì) B. 4對(duì) C. 5對(duì) D. 6對(duì)
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【題目】如圖①,△ABC中,DC,BD分別是∠ACB和∠ABC的平分線,且∠A=α
(1)用含α的代數(shù)式表示∠CDB;
(2)若把圖①中∠ACB的平分線DC改為∠ACB的外角的平分線(如圖②),怎樣用含α的代數(shù)式表示∠CDB.
(3)若把圖①中“DC,DB分別是∠ACB和∠ABC的平分線”改成“DC,BD分別是∠ACB和∠ABC的外角的平分線”,(如圖③),怎樣用含α的代數(shù)式表示∠CDB.
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【題目】從一個(gè)等腰三角形紙片的某角的頂點(diǎn)出發(fā),能將其剪成兩個(gè)等腰三角形紙片,則原等腰三角形紙片的底角為_______________.
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【題目】某人沿一條直路行走,此人離出發(fā)地的距離千米與行走時(shí)間分鐘的函數(shù)關(guān)系如圖所示,請(qǐng)根據(jù)圖象提供的信息回答下列問題:
此人離開出發(fā)地最遠(yuǎn)距離是______ 千米;
此人在這次行走過程中,停留所用的時(shí)間為______ 分鐘;
由圖中線段OA可知,此人在這段時(shí)間內(nèi)行走的速度是每小時(shí)______ 千米;
此人在120分鐘內(nèi)共走了______ 千米.
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