Question

【題目】如圖，是邊長為的等邊三角形，動點、同時從、兩點出發(fā)，分別沿、方向勻速移動，它們的速度都是，當點到達點時，、兩點停止運動，設點的運動時間.

解答下列各問題：

（1）求的面積

（2）當為何值時，是直角三角形？

（3）設四邊形的面積為，求與的關系式；是否存在某一時刻，使四邊形的面積是面積的三分之二？如果存在，求出的值；不存在請說明理由

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），不存在，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)等邊三角形的面積公式計算即可；

（2）先用t的代數(shù)式表示出BP，BQ，再分∠BPQ=90°和∠BQP=90°兩種情況，在直角△BQP中根據(jù)BP，BQ的表達式和∠B的度數(shù)進行求解即可；

（3）先用t的代數(shù)式表示出△BPQ的面積，然后用△ABC的面積減去△BPQ的面積即得y與t的函數(shù)關系式；假設存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的，可得關于t的一元二次方程，再根據(jù)方程根的判別式即得結果.

解：（1）的面積=；

（2）設經過t秒△PBQ是直角三角形，則AP=tcm，BQ=tcm，

在△ABC中，AB=BC=6cm，∠B=60°，∴BP=（6－t）cm，

若△PBQ是直角三角形，則∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

當∠BQP=90°時，BQ=BP，即t=（6－t），解得：t=2，

當∠BPQ=90°時，BP=BQ，即6－t=t，解得：t=4，

∴當t=2或t=4時，△PBQ是直角三角形．

（3）過P作PM⊥BC于M，如圖，

在△BPM中，∵sinB=，∴PM=PBsinB=（6－t），

∴S△PBQ=BQPM=，

∴==，

∴y與t的關系式為：y=；

假設存在某一時刻t，使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的，

則S四邊形APQC=S△ABC，∴=，

∴，∵（－6）2－4×1×12＜0，∴方程無解，

∴無論t取何值，四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的．