【題目】如圖,中,,點邊上的中點,點邊上的一個動點,延長,使,作,其中點在上.

1)如圖①,若,則_______

2)如圖②,若,求的值;

3)如圖③,若,延長到點,使得,連接,在點運動的過程中,探究:當(dāng)的值為多少時,線段的長度和取得最小值?

【答案】(1) (2) ;(3)

【解析】

(1)連接AD,首先證明AC=CD,再證明△DCG∽△ACE,可得;

(2)連接AD.證明△DCG∽△ACE,可得,設(shè)AB=AC=5k,BD=CD=4k,則AD=,由此即可解決問題;
(3)由題意,當(dāng)A,MD共線時,AM+DM的值最。朕k法證明∠GDM=GDC=45°,設(shè)CH=,則PC=2PH=DH=,推出AC=2CD=2(),由此即可解決問題.

(1)如圖,連接AD,

AB=AC,∠B=45°
∴△ABC是等腰直角三角形,
BD=CD,
ADBC
AD=BD=DC,
AC=CD,
∵∠CDE=CAE,∠DCG=ACE,
∴△DCG∽△ACE,
;
(2)如圖,連接AD,

∵∠CDE=CAE,∠DCG=ACE,
∴△DCG∽△ACE
,

AB=ACBD=CD,
ADBC
設(shè)AB=AC=5k,BD=CD=4k,

AD=,

;
(3)如圖,由題意知,當(dāng)A、M、D三點共線時,AM+DM的值最。

EM,取AC的中點O,連接OEOD,作PHCDH
AB=AC,∠B=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
BC=AC,∠ACB=60°,
BD=CD,
ADBC,
∴∠CDA=90°,
AC=2CD,
∵∠CDE=CAE,∠DCG=ACE,
∴△DCG∽△ACE,

EC=2CG,
CM=2CG,
CM=CE,∠DCG=ACE
∵∠ACD=DCG+GCP=ACE+GCP=ECM=60°,
∴△ECM是等邊三角形,
CD=CO,∠DCM=OCE,CM=CE
∴△DCM≌△OCE(SAS),
OE=DM
∵∠CDE=CAE,
AD,C,E四點共圓,
∴∠ADC+AEC=180°,
∴∠AEC=90°
OA=OC,
OE=OC=CD=DM,
CG=GM,
∴∠GDM=GDC=45°,

設(shè)CH=,則PC=PH=DH=,
AC=2CD=2()

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