例7．（2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷文史類19））

   （Ⅰ）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，

 點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

   （Ⅱ）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，

         點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

分析：本小題主要考查函數(shù)，不等式等基本知識(shí)，

考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

    （Ⅰ）解：設(shè)P的坐標(biāo)為（0，），則P至三

鎮(zhèn)距離的平方和為

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.  答:點(diǎn)P的坐標(biāo)是

（Ⅱ）解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為

    由解得記于是

      因?yàn)樵赱上是增函數(shù)，而上是減函數(shù). 所以時(shí)，函數(shù)取得最小值. 答:點(diǎn)P的坐標(biāo)是

  解法二：P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為

    函數(shù)的圖象如圖，因此，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.答:點(diǎn)P的坐標(biāo)是

    解法三：因?yàn)樵凇鰽BC中，AB=AC=13，且，

           且AM=BM=CM. 當(dāng)P在射線MA上，記P為P₁；當(dāng)P在射線

MA的反向延長(zhǎng)線上，記P為P₂，

這時(shí)P到A、B、C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為

P₁C和P₂A，且P₁C≥MC，P₂A≥MA，所以點(diǎn)P與外心M

重合時(shí)，P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離最小.

答:點(diǎn)P的坐標(biāo)是

例6．已知甲、乙、丙三種食物的維生素A、B含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三種食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物內(nèi)至少含有56000單位維生素A和63000單位維生素B.

甲

乙

丙

維生素A（單位/千克）

600

700

400

維生素B（單位/千克）

800

400

500

成本（元/千克）

11

9

4

       （1）用x，y表示混合食物成本c元；

       （2）確定x，y，z的值，使成本最低.

   解:（1）依題意得   .

（2）由 ， 得

       ，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.， 

 ∴當(dāng)x=50千克，y=20千克，z=30千克時(shí)，混合物成本最低為850元.

說明：線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容， 涉及此類問題的求解還可利用圖解法.

例5．（2003年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(理工農(nóng)醫(yī)類20)）

    在某海濱城市附近海面有一臺(tái)風(fēng)，據(jù)監(jiān)測(cè)，當(dāng)前臺(tái)風(fēng)中心位于城市O（如圖）的東偏南方向300km的海面P處，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移動(dòng). 臺(tái)風(fēng)侵襲的范圍為圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大. 問幾小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲？

解：如圖建立坐標(biāo)系以O(shè)為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正向.

    在時(shí)刻：（1）臺(tái)風(fēng)中心P（）的坐標(biāo)為

此時(shí)臺(tái)風(fēng)侵襲的區(qū)域是

其中若在t時(shí)刻城市O受到臺(tái)風(fēng)

的侵襲，則有

即

答：12小時(shí)后該城市開始受到臺(tái)風(fēng)的侵襲.

3.要能熟練地處理分段函數(shù)問題.

2.二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及函數(shù)（a＞0，b＞0）的性質(zhì)要熟練掌握.

說明：1.對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，可以通過建立目標(biāo)函數(shù)，然后運(yùn)用解（證）不等式的方法求出函數(shù)的最大值或最小值，其中要特別注意蘊(yùn)涵的制約關(guān)系，如本題中速度v的范圍，一旦忽視，將出現(xiàn)解答不完整.此種應(yīng)用問題既屬于函數(shù)模型，也可屬于不等式模型.

例4．（1997年全國(guó)高考題）甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c千米／時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米／時(shí)）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元.

 ① 把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米／時(shí)）的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域；

 ② 為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？    

分析：幾個(gè)變量（運(yùn)輸成本、速度、固定部分）有相互的關(guān)聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系，并求函數(shù)的最小值.

解：（讀題）由主要關(guān)系：運(yùn)輸總成本＝每小時(shí)運(yùn)輸成本×?xí)r間，

（建模）有y＝(a＋bv)

（解題）所以全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米／時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式是：

y＝S(＋bv)，其中函數(shù)的定義域是v∈(0，c] .

整理函數(shù)有y＝S(＋bv)＝S(v＋)，

由函數(shù)y＝x＋ (k>0)的單調(diào)性而得：

當(dāng)<c時(shí)，則v＝時(shí)，y取最小值；

當(dāng)≥c時(shí)，則v＝c時(shí)，y取最小值.

綜上所述，為使全程成本y最小，當(dāng)<c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v＝；當(dāng)≥c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v＝c.

例3．如圖，一載著重危病人的火車從O地出發(fā)，沿射線OA行駛，其中

在距離O地5a（a為正數(shù)）公里北偏東β角的N處住有一位醫(yī)學(xué)專家，其中

   （1）求S關(guān)于p的函數(shù)關(guān)系；

   （2）當(dāng)p為何值時(shí)，搶救最及時(shí).

解：（1）以O(shè)為原點(diǎn)，正北方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系，

則 

設(shè)N（x₀，y₀），

又B（p，0），∴直線BC的方程為：

 由得C的縱坐標(biāo)

，∴

（2）由（1）得 ∴，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，∴當(dāng)公里時(shí)，搶救最及時(shí).

4.評(píng)價(jià)：答案4.92符合城市實(shí)際情況，驗(yàn)算正確，所以到2000年底該市人均住房面積為4.92m.

說明：一般地，涉及到利率、產(chǎn)量、降價(jià)、繁殖等與增長(zhǎng)率有關(guān)的實(shí)際問題，可通過觀察、分析、歸納出數(shù)據(jù)成等差數(shù)列還是等比數(shù)列，然后用兩個(gè)基礎(chǔ)數(shù)列的知識(shí)進(jìn)行解答.此種題型屬于應(yīng)用問題中的數(shù)列模型.

∴ 人均住房面積為≈4.92