線段AP的長       ∠AOP的弧度數(shù)         大圓劣弧AP的長

８．球的表面積及體積公式

 S_球表=4πR²                   V_球=πR³

⑴球的體積公式可以這樣來考慮：我們把球面分成若干個邊是曲線的小“曲邊三角形”；以球心為頂點(diǎn)，以這些小曲邊三角形的頂點(diǎn)為底面三角形的頂點(diǎn)，得到若干個小三棱錐，所有這些小三棱錐的體積和可以看作是球體積的近似值.當(dāng)小三棱錐的個數(shù)無限增加，且所有這些小三棱錐的底面積無限變小時，小三棱錐的體積和就變成球體積，同時小三棱錐底面面積的和就變成球面面積,小三棱錐高變成球半徑.由于第n個小三棱錐的體積＝S_nh_n（S_n為該小三棱錐的底面積,h_n為小三棱錐高），所以V_球＝S_球面?R＝?4πR²?R＝πR³.

    ⑵球與其它幾何體的切接問題，要仔細(xì)觀察、分析、弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選擇最佳角度作出截面，以使空間問題平面化。

⑵平行六面體是棱柱中的一類重要的幾何體，要理解并掌握“平行六面體   直平行六面體   長方體   正四棱柱   正方體”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。

⑶須從棱柱的定義出發(fā)，根據(jù)第一章的相關(guān)定理對棱柱的基本性質(zhì)進(jìn)行分析推導(dǎo)，以求更好地理解、掌握并能正確地運(yùn)用這些性質(zhì)。

⑷關(guān)于平行六面體，在掌握其所具有的棱柱的一般性質(zhì)外，還須掌握由其定義導(dǎo)出的一些其特有的性質(zhì)，如長方體的對角線長定理是一個重要定理并能很好地掌握和應(yīng)用。還須注意，平行六面體具有一些與平面幾何中的平行四邊形相對應(yīng)的性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)及解題思路去解平行六面體的問題是一常用的解題方法。

⑸多面體與旋轉(zhuǎn)體的問題離不開構(gòu)成幾何體的基本要素點(diǎn)、線、面及其相互關(guān)系，因此，很多問題實質(zhì)上就是在研究點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，與《直線、平面、簡單幾何體》第一部分的問題相比，唯一的差別就是多了一些概念，比如面積與體積的度量等．從這個角度來看，點(diǎn)、線、面及其位置關(guān)系仍是我們研究的重點(diǎn)．

７．經(jīng)緯度及球面距離

⑴根據(jù)經(jīng)線和緯線的意義可知，某地的經(jīng)度是一個二面角的度數(shù)，某地的緯度是一個線面角的度數(shù)，設(shè)球O的地軸為NS，圓O是0°緯線，半圓NAS是0°經(jīng)線，若某地P是在東經(jīng)120°，北緯40°，我們可以作出過P的經(jīng)線NPS交赤道于B，過P的緯線圈圓O₁交NAS于A，那么則應(yīng)有：∠AO₁P=120°(二面角的平面角) ，∠POB=40°（線面角）。

⑵兩點(diǎn)間的球面距離就是連結(jié)球面上兩點(diǎn)的大圓的劣弧的長，因此，求兩點(diǎn)間的球面距離的關(guān)鍵就在于求出過這兩點(diǎn)的球半徑的夾角。

例如，可以循著如下的程序求A、P兩點(diǎn)的球面距離。

⑴理解并掌握棱柱的定義及相關(guān)概念是學(xué)好這部分知識的關(guān)鍵，要明確“棱柱   直棱柱    正棱柱”這一系列中各類幾何體的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別。

6．棱柱的概念和性質(zhì)

5.空間的距離問題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的）、平面和它的平行直線、以及兩個平行平面之間的距離．

求距離的一般方法和步驟是：一作――作出表示距離的線段；二證――證明它就是所要求的距離；三算――計算其值．此外，我們還常用體積法求點(diǎn)到平面的距離．

4．空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、空間兩直線所成的角、直線和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等．解這類問題的基本思路是把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解決．

空間的角，是對由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角θ∈(0，]，直線與平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角來度量，其平面角θ∈0，π．

對于空間角的計算，總是通過一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的角，并把它置于一個平面圖形，而且是一個三角形的內(nèi)角來解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來實現(xiàn)的，因此求這些角的過程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用．通過空間角的計算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)算能力、邏輯推理能力及空間想象能力．

如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）與向量法；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角a－l－b的平面角（記作q）通常有以下幾種方法：

(1) 根據(jù)定義；

(2) 過棱l上任一點(diǎn)O作棱l的垂面g，設(shè)g∩a＝OA，g∩b＝OB，則∠AOB＝q ；

(3) 利用三垂線定理或逆定理，過一個半平面a內(nèi)一點(diǎn)A，分別作另一個平面b的垂線AB(垂足為B),或棱l的垂線AC(垂足為C)，連結(jié)AC，則∠ACB＝q 或∠ACB＝p－q；

(4) 設(shè)A為平面a外任一點(diǎn)，AB⊥a，垂足為B，AC⊥b，垂足為C，則∠BAC＝q或∠BAC＝p－q；

(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面a內(nèi)的平面圖形F的面積為S，F(xiàn)在平面b內(nèi)的射影圖形的面積為S^¢，則cosq＝.

3．兩個平面平行的主要性質(zhì)：

    ⑴由定義知：“兩平行平面沒有公共點(diǎn)”。

    ⑵由定義推得：“兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面。

    ⑶兩個平面平行的性質(zhì)定理：“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那

么它們的交線平行”。

    ⑷一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

    ⑸夾在兩個平行平面間的平行線段相等。

    ⑹經(jīng)過平面外一點(diǎn)只有一個平面和已知平面平行。

以上性質(zhì)⑵、⑷、⑸、⑹在課文中雖未直接列為“性質(zhì)定理”，但在解題過程中均可直接作為性質(zhì)定理引用。

2．判定兩個平面平行的方法：

   （1）根據(jù)定義――證明兩平面沒有公共點(diǎn)；

   （2）判定定理――證明一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面；

   （3）證明兩平面同垂直于一條直線。

1．有關(guān)平行與垂直(線線、線面及面面)的問題，是在解決立體幾何問題的過程中，大量的、反復(fù)遇到的，而且是以各種各樣的問題(包括論證、計算角、與距離等)中不可缺少的內(nèi)容，因此在主體幾何的總復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)從解決“平行與垂直”的有關(guān)問題著手，通過較為基本問題，熟悉公理、定理的內(nèi)容和功能，通過對問題的分析與概括，掌握立體幾何中解決問題的規(guī)律――充分利用線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互轉(zhuǎn)化的思想，以提高邏輯思維能力和空間想象能力．

例9．平面直角坐標(biāo)系有點(diǎn)

（1）       求向量和的夾角的余弦用表示的函數(shù)；

（2）       求的最值.

解：（1），

              即         

（2） ，  又    ，

     ，     ，   .

說明：三角函數(shù)與向量之間的聯(lián)系很緊密，解題時要時刻注意。