0  435138  435146  435152  435156  435162  435164  435168  435174  435176  435182  435188  435192  435194  435198  435204  435206  435212  435216  435218  435222  435224  435228  435230  435232  435233  435234  435236  435237  435238  435240  435242  435246  435248  435252  435254  435258  435264  435266  435272  435276  435278  435282  435288  435294  435296  435302  435306  435308  435314  435318  435324  435332  447090 

2.已知函數(shù)f(x)=x4-4x3+10x2,則方程f(x)=0在區(qū)間[1,2]上的根有

A.3個           B.2個             C.1個       D.0個

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3.導數(shù)是研究函數(shù)問題的工具,注意它在其它數(shù)學問題中的綜合與應用。

 

同步練習    115 導數(shù)的綜合應用 

[選擇題]

1某物體作s=2(1-t)2的直線運動,則t=0.8 s時的瞬時速度為  (  )

A.4        B.-4      C-4.8      D-0.8

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2.利用導數(shù)證明不等式有兩種方法:

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1.利用導數(shù)求解不等式問題的核心是利用導數(shù)判定函數(shù)的單調性,這就轉化為一般的函數(shù)問題;

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由= +得M的坐標為(x,y), 由x0,y0滿足C的方程,得點M的軌跡方程為:

+ =1 (x>1,y>2) 

(Ⅱ)| |2= x2+y2,  y2= =4+ ,

∴| |2= x2-1++5≥4+5=9  且當x2-1= ,即x=>1時,上式取等號 

故||的最小值為3

[研討欣賞](2006湖北) 設x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3-x(x∈R)的一個極值點.

(1)求a與b的關系式(用a表示b),并求f(x)的單調區(qū)間;

(2)設>0,=().若存在使得||<1成立,求的取值范圍.

解:(1)              

f(3)=0得

所以

f(x)=0得

由于x=3是f(x)的極值點,故x1≠x2,即a≠-4

時,,故f(x)在上為減函數(shù),在上為減函數(shù),在上為增函數(shù)

當a>4時,x1>x2,故f (x)在(-∞,-a-1]上為減函數(shù),在[-a-1,3]上為增函數(shù),在[3,+∞)上為減函數(shù).

(2)當a>0時,-a-1<0,故f(x)在[0,3]上為增函數(shù),在[3,4]上為減函數(shù),在[3,+∞)上為減函數(shù)

因此f(x)在[0,4]上的值域為

在[0,4]上為增函數(shù),所以值域為

注意到

故由假設知解得

的取值范圍是

考查知識:函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用知識,考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.

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[例1]證明:當x>0時,有

證明:設f(x)=x-sinx,于是f(0)=0.

∵f/(x)=1-cosx(僅在x=2kπ(k∈Z)處f/(x)=0

∴當x>0時,f(x)單調遞增,從而有f(x)>f(0)

即x-sinx>0, x>sinx(x>0)

為證不等式,設

g(x)=sinx-x+,則g(0)=0,

于是g/(x)>0,∴g(x)在x>0時遞增,從而有g(x)>g(0)=0

故當x>0時有

提煉方法:證不等式的依據(jù)I:

(1) 若函數(shù)f(x)在x>a可導,且遞增,則f(x)>f(a);

(2) 若函數(shù)f(x)在x>a可導,且遞減,則f(x)《f(a);

關鍵在于構造恰當?shù)暮瘮?shù),一般是左-右,右-左,左÷右等。

[例2]已知

求證:函數(shù)f(x)圖像上的點不可能在函數(shù)g(x)圖像的上方。

證明:設F(x)=(2-x)ex-1,(x<2)

∵F/(x)=(1-x)ex-1,

當x<1時,F(xiàn)/(x)>0,當1<x<2時,F(xiàn)/(x)<0.

∴x=1時,F(xiàn)(x)有極大值,也就是最大值。

∴F(x)≤F(1)=1,又x<2,

∴函數(shù)f(x)圖像上的點不可能在函數(shù)g(x)圖像的上方。

提煉方法:證不等式的依據(jù)II:

(1)若函數(shù)f(x)在某一范圍內有最小值m,則f(x)≥m.

(2)若函數(shù)f(x)在某一范圍內有最大值M,則f(x)≤m.

[例3](2006全國Ⅰ)已知函數(shù) 

(Ⅰ)設a>0,討論y=f(x)的單調性;

(Ⅱ)若對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1,求a的取值范圍

解(Ⅰ)f(x)的定義域為(-∞,1)∪(1,+∞)。 對f(x)求導數(shù)得 f '(x)= eax   

(ⅰ)當a=2時, f '(x)= e2x, f '(x)在(-∞,0), (0,1)和(1,+ ∞)均大于0, 所以f(x)在(-∞,1), (1,+∞) 為增函數(shù);

(ⅱ)當0<a<2時, f '(x)>0, f(x)在(-∞,1), (1,+∞)為增函數(shù); 

(ⅲ)當a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= - , x2=  

當x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表:

x
(-∞, -)
(-,)
(,1)
(1,+∞)
f '(x)
+

+
+
f(x)




f(x)在(-∞, -), (,1), (1,+∞)為增函數(shù), f(x)在(-,)為減函數(shù)。

(Ⅱ)(ⅰ)當0<a≤2時, 由(Ⅰ)知: 對任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1

(ⅱ)當a>2時, 取x0= ∈(0,1),則由(Ⅰ)知 f(x0)<f(0)=1

(ⅲ)當a≤0時, 對任意x∈(0,1),恒有 >1且eax≥1,得

f(x)= eax≥ >1  綜上當且僅當a∈(-∞,2]時,對任意x∈(0,1)恒有f(x)>1 。

特別提示:對于求單調區(qū)間、極值、最值問題,根據(jù)導數(shù)的零點把定義區(qū)間分開,列出表格,再分析各區(qū)間導數(shù)的符號,進而確定單調區(qū)間、極值最值,清楚直觀不易出錯。

[例4]  (2006全國Ⅰ) 在平面直角坐標系中,有一個以為焦點、離心率為的橢圓,設橢圓在第一象限的部分為曲線C,動點P在C上,C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B,且向量  求:

(Ⅰ)點M的軌跡方程;

(Ⅱ)的最小值。

解: 橢圓方程可寫為: + =1  式中a>b>0 , 且  得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為:  x2+ =1 (x>0,y>0)  y=2(0<x<1) y '=-

設P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2, y '|x=x0= - ,得切線AB的方程為:

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6.設f(x)=x3-3x+c,則(x)=3x2-3=3(x2-1).

x∈(0,1)時,(x)<0恒成立.

f(x)在(0,1)上單調遞減.

f(x)的圖象與x軸最多有一個交點.

因此方程x3-3x+c=0在[0,1)上至多有一實根.

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5. y′=-4x2+b,若y′值有正、有負,則b>0.答案:b>0

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6.方程x3-3x+c=0在[0,1]上至多有_______個實數(shù)根.

 

簡答:1-4.DBDC;

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5.若函數(shù)y=-x3+bx有三個單調區(qū)間,則b的取值范圍是________.

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同步練習冊答案