等效法是科學(xué)研究中常用的思維方法之一，它是從事物的等同效果這一基本點(diǎn)出發(fā)的，它可以把復(fù)雜的物理現(xiàn)象、物理過程轉(zhuǎn)化為較為簡單的物理現(xiàn)象、物理過程來進(jìn)行研究和處理，其目的是通過轉(zhuǎn)換思維活動(dòng)的作用對象來降低思維活動(dòng)的難度，它也是物理學(xué)研究的一種重要方法．

　　 用等效法研究問題時(shí)，并非指事物的各個(gè)方面效果都相同，而是強(qiáng)調(diào)某一方面的效果．因此一定要明確不同事物在什么條件、什么范圍、什么方面等效．在中學(xué)物理中，我們通常可以把所遇到的等效分為：物理量等效、物理過程等效、物理模型等效等．

6. 有一帶負(fù)電的小球，其帶電量q= -C。如圖所示，開始時(shí)靜止在場強(qiáng)E=200N/C的勻強(qiáng)電場中的P點(diǎn)，靠近電場極板B有一擋板要S，小球與擋板S的距離h=5cm，與A板距離H=45cm，重力作用不計(jì)。在電場力作用下小球向左運(yùn)動(dòng)，與擋板S相碰后電量減少到碰前的k倍，已知k=，而碰后小球的速度大小不變。

(1)設(shè)勻強(qiáng)電場中擋板S所在位置的電勢為零，則電場中P點(diǎn)的電勢為多少？小球在P點(diǎn)時(shí)的電勢能為多少？(電勢能用E來表示)

(2)小球從P點(diǎn)出發(fā)第一次回到最右端的過程中電場力對小球做了多少功？

(3)小球經(jīng)過多少次碰撞后，才能抵達(dá)A板？(取

例題解析：

例1．解析 小球從h₀高處落地時(shí)，速率

第一次跳起時(shí)和又落地時(shí)的速率

第二次跳起時(shí)和又落地時(shí)的速率

第m次跳起時(shí)和又落地時(shí)的速率

每次跳起的高度依次，

通過的總路程

經(jīng)過的總時(shí)間為

例2．(1)木板最初做勻速運(yùn)動(dòng)，由F＝μMg解得，　　　　

第l 塊鐵塊放上后，木板做勻減速運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a₁,即有：

代人數(shù)據(jù)解得： 　　

(2)設(shè)最終有n塊鐵塊能靜止在木板上．則木板運(yùn)動(dòng)的加速度大小為： 　 　　

第1 塊鐵塊放上后：

第2 塊鐵抉放上后：

第n塊鐵塊放上后：

由上可得：　

木板停下時(shí)，，得n=6.6．即最終有7 塊鐵塊放在木板上．　　　

(3)從放上第1塊鐵塊至剛放上第7 塊鐵塊的過程中，由(2)中表達(dá)式可得：　　

從放上第7 塊鐵塊至木板停止運(yùn)動(dòng)的過程中，設(shè)木板發(fā)生的位移為d ，則：

聯(lián)立解得：　 　　　　

例3．(1)對A由動(dòng)能定理：　　 (1)

解得；A與B相碰后速度交換。

故第一次相碰后，A速度為零；B速度為　 (2)

(2)從A開始運(yùn)動(dòng)到碰第一次歷時(shí)t₁=

設(shè)第二次碰前A速為 ，從第一次碰后到第二次碰前歷時(shí)t₂

對A、由動(dòng)能定理：　　　 (3)　　

　 (4)　　 (2分)由(3)、(4)兩式得：

故兩球第二次碰時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間為：　 (5)　

(3)由(3)(4)兩式解得：

　　 此時(shí)B的速度為

第二次碰后速度再交換。由速度圖像也可得到第三次碰前A速度

　 　　　 (6)　　

此時(shí)B的速度為 (7)

依此類推第n次碰前A速度為：

　 (8)　　

　 故第n次與第n+1次碰撞經(jīng)歷時(shí)間為：

　 (9)　

　第n次碰后B以速度勻速運(yùn)動(dòng)，

故該時(shí)間內(nèi)A通過的路程為：　 (10)　

例4．解析 　粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)半周后通過x

軸進(jìn)入電場后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，速度減為零后，又反向勻加

　 速通過x軸進(jìn)入磁場后又做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以運(yùn)動(dòng)有周期性.

它第3次到達(dá)x軸時(shí)距O點(diǎn)的距離L等于圓半徑的4倍(如圖

6-13甲所示)

粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為　

所以粒子射出時(shí)的速度　

粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半周長為　

粒子以速度v進(jìn)入電場后做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，能深入的最大距離為y，

因?yàn)?sub>

所以粒子在電場中進(jìn)入一次通過的路程為　

粒子第1次到達(dá)x軸時(shí)通過的路程為　

粒子第2次到達(dá)x軸時(shí)，已通過的路程為　

粒子第3次到達(dá)x軸時(shí)，已通過的路程為　

粒子第4次到達(dá)x軸時(shí)，已通過的路程為　

粒子第次到達(dá)x軸時(shí)，已通過的路程為　

粒子第2n次到達(dá)x軸時(shí)，已通過的路程為　

上面n都取正整數(shù).

例5．解析　 當(dāng)鉛塊向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，鉛塊與10個(gè)相同的扁長木塊中的第一塊先發(fā)生摩擦力，若此摩擦力大于10個(gè)扁長木塊與地面間的最大靜摩擦力，則10個(gè)扁長木塊開始運(yùn)動(dòng)，若此摩擦力小于10個(gè)扁長木塊與地面間的最大摩擦力，則10個(gè)扁長木塊先靜止不動(dòng)，隨著鉛塊的運(yùn)動(dòng)，總有一個(gè)時(shí)刻扁長木塊要運(yùn)動(dòng)，直到鉛塊與扁長木塊相對靜止，后又一起勻減速運(yùn)動(dòng)到停止.

鉛塊M在木塊上滑行所受到的滑動(dòng)摩擦力

設(shè)M可以帶動(dòng)木塊的數(shù)目為n，則n滿足：

即

上式中的n只能取整數(shù)，所以n只能取2，也就是當(dāng)M滑行到倒數(shù)第二個(gè)木塊時(shí)，剩下的兩個(gè)木塊將開始運(yùn)動(dòng).設(shè)鉛塊剛離開第8個(gè)木塊時(shí)速度為v，則

　 得：

由此可見木塊還可以滑到第9個(gè)木塊上. M在第9個(gè)木塊

上運(yùn)動(dòng)如圖6-9甲所示，則對M而言有：

得：

第9及第10個(gè)木塊的動(dòng)力學(xué)方程為：，

得：

設(shè)M剛離開第9個(gè)木塊上時(shí)速度為，而第10個(gè)木塊運(yùn)動(dòng)的速度為，并設(shè)木塊運(yùn)動(dòng)的距離為s，則M運(yùn)動(dòng)的距離為，有：

消去s及t求出：，顯然后一解不合理應(yīng)舍去.

因，故M將運(yùn)動(dòng)到第10個(gè)木塊上.

再設(shè)M運(yùn)動(dòng)到第10個(gè)木塊的邊緣時(shí)速度為，這時(shí)木塊的速度為，則：

解得：，故M不能滑離第10個(gè)木塊，只能停在它的表面上，最后和木塊一起靜止在地面上.

例6．(1)A在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，　　

由以上兩式得　a＝g　　　　　　　　　

A在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間　　 A在盒子外運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

A從第一次進(jìn)入盒子到第二次進(jìn)入盒子的時(shí)間　　　　

(2)小球在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，盒子的加速度　　

小球在盒子外運(yùn)動(dòng)時(shí)，盒子的加速度

小球運(yùn)動(dòng)一個(gè)周期盒子減少的速度為　

從小球第一次進(jìn)入盒子到盒子停下，小球運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為

故要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數(shù)至少為2n+1個(gè)，即11個(gè)．

(3)小球第一次在盒內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子前進(jìn)的距離為

小球第一次從盒子出來時(shí)，盒子的速度

小球第一次在盒外運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子前進(jìn)的距離為

小球第二次進(jìn)入盒子時(shí)，盒子的速度

小球第二次在盒子內(nèi)運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子前進(jìn)的距離為

小球第二次從盒子出來時(shí)，盒子的速度

小球第二次在盒外運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子前進(jìn)的距離為　

分析上述各組數(shù)據(jù)可知，盒子在每個(gè)周期內(nèi)通過的距離為一等差數(shù)列，公差d＝0.12m．且當(dāng)盒子停下時(shí)，小球恰要進(jìn)入盒內(nèi)，最后0.2s內(nèi)盒子通過的路程為0.04m．

所以從小球第一次進(jìn)入盒子至盒子停止運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子通過的總路程為

5．如圖所示，有兩本完全相同的書A、B，書重均為5N，若將兩本書等分成若干份后，

交叉地疊放在一起，置于光滑的桌面上，并將書A通過一輕質(zhì)彈簧秤與墻壁相連，用水平

向右的力F把書B抽出�，F(xiàn)測得一組數(shù)據(jù)如下表：

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試求：

(1)若將書分成32份，彈簧秤的示數(shù)為多大？

(2)該書由多少張與首頁大小相同的紙組成？

(3)如果兩本書任意兩張紙之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ都相等，則μ為多大？

4．如圖所示，R₁=R₃=R₅=…=R₉₉=5Ω，R₂=R₄=R₆=…=R₉₈=10Ω，R₁₀₀=5Ω，=10V。求：

　 (1)R_AB=？

　 (2)電阻R₂消耗的電功率應(yīng)等于多少？

　 (3)消耗的電功率；

　 (4)電路上的總功率.

3．有n塊質(zhì)量均為m，厚度為d的相同磚塊，平放在水平地面上，現(xiàn)將它們一塊一塊地疊放起來，如圖所示，人至少做多少功？

2．如圖所示，一固定的斜面，傾角，斜面長L=2.00米. 在斜面下端有一與斜面垂直的擋板. 一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，從斜面的最高點(diǎn)沿斜面下滑，初速度為零. 下滑到最底端與擋板發(fā)生彈性碰撞(無動(dòng)能損失). 已知質(zhì)點(diǎn)與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)，試求此質(zhì)點(diǎn)從開始到發(fā)生第11次碰撞的過程中運(yùn)動(dòng)的總路程.

1．(　　 )一物體放在光滑水平面上，初速為零，先對物體施加一向東的恒力F，歷時(shí)1秒鐘，隨即把此力改為向西，大小不變，歷時(shí)1秒鐘，接著又把此力改為向東，大小不變，歷時(shí)1秒鐘，如此反復(fù)，只改變力的方向，共歷時(shí)1分鐘. 在此1分鐘內(nèi)　　　　　　　　　　　　　

　　 A．物體時(shí)而向東運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向西運(yùn)動(dòng)，在1分鐘末靜止于初始位置之東

　　 B．物體時(shí)而向東運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向西運(yùn)動(dòng)，在1分鐘末靜止于初始位置

　　 C．物體時(shí)而向東運(yùn)動(dòng)，時(shí)而向西運(yùn)動(dòng)，在1分鐘末繼續(xù)向東運(yùn)動(dòng)

　　 D．物體一直向東運(yùn)動(dòng)，從不向西運(yùn)動(dòng)，在1分鐘末靜止于初始位置之東

例1．小球從高處自由下落，著地后跳起又下落，每與地面相碰一次，速度減小，求小球從下落到停止經(jīng)過的總時(shí)間為通過的總路程.(g取10m/s²)

例2．如圖所示，質(zhì)量M＝10kg、上表面光滑的足夠長的木板的在F＝50N的水平拉力作用下，以初速度v₀=5m/s沿水平地面向右勻速運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)有足夠多的小鐵塊，它們的質(zhì)量均為m=1kg，將一鐵塊無初速地放在木板的最右端，當(dāng)木板運(yùn)動(dòng)了L＝1m時(shí)，又無初速地在木板的最右端放上第2塊鐵塊，只要木板運(yùn)動(dòng)了L就在木板的最右端無初速放一鐵塊．試問．(取g＝10m/s²)

(1)第1塊鐵塊放上后，木板運(yùn)動(dòng)了L時(shí)，木板的速度多大？

(2)最終木板上放有多少塊鐵塊？

　　　 　(3)最后一塊鐵塊與木板右端距離多遠(yuǎn)？

例3．如圖所示，在足夠大的光滑絕緣水平面上有兩個(gè)質(zhì)量均為m、相距為L的小球A和B均處于靜止，小球A帶+q的電量，小球B不帶電。若沿水平向右的方向加一大小為E的勻強(qiáng)電場，A球?qū)⑹芰Χ\(yùn)動(dòng)，并與B球發(fā)生完全彈性碰撞(碰撞時(shí)間極短)，碰后兩球速度交換，若碰撞過程中無電荷轉(zhuǎn)移，求：

(1)A與B第一次碰后瞬時(shí)B球的速率？

(2)從A開始運(yùn)動(dòng)到兩球第二次相碰經(jīng)歷多長時(shí)間？

(3)兩球從第n次碰撞到第n+1次碰撞時(shí)間內(nèi)A球所通過的路程？

例4．如圖所示，在x軸上方有垂直于xy平面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，在x軸下方有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)為E. 一質(zhì)量為m，電量為－q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O

沿著y軸方向射出. 射出之后，第三次到達(dá)x軸時(shí)，它與O點(diǎn)的距離為L. 求此粒子射出時(shí)的速度v和每次到達(dá)x軸時(shí)運(yùn)動(dòng)的總路程s.(重力不計(jì))

例5．10個(gè)相同的扁長木塊一個(gè)緊挨一個(gè)地放在水平

地面上，如圖6-9所示，每個(gè)木塊的質(zhì)量長度

，它們與地面間的靜摩擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)均為

　 原來木塊處于靜止?fàn)顟B(tài). 左方第一個(gè)木塊的左端

上方放一個(gè)質(zhì)量為M=1.0kg的小鉛塊，它與木塊間的靜摩

擦因數(shù)和動(dòng)摩擦因數(shù)均為現(xiàn)突然給鉛塊一向右的初速度，使其在大木塊上滑行. 試確定鉛塊最后的位置在何處(落在地上還是停在哪塊木塊上). 重力加速度g取，設(shè)鉛塊的長度與木塊相比可以忽略.

例6．如圖所示，A為位于一定高度處的質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球，B為位于水平地面上的質(zhì)量為M的用特殊材料制成的長方形空心盒子，且M=2m，盒子與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)=0.2，盒內(nèi)存在著豎直向上的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)大小E=，盒外沒有電場．盒子的上表面開有一系列略大于小球的小孔，孔間距滿足一定的關(guān)系，使得小球進(jìn)出盒子的過程中始終不與盒子接觸．當(dāng)小球A以1m/s的速度從孔1進(jìn)入盒子的瞬間，盒子B恰以v₁=6 m/s的速度向右滑行．已知盒子通過電場對小球施加的作用力與小球通過電場對盒子施加的作用力大小相等方向相反．設(shè)盒子足夠長，取重力加速度g=10m/s²，小球恰能順次從各個(gè)小孔進(jìn)出盒子．試求：

(1)小球A從第一次進(jìn)入盒子到第二次進(jìn)入盒子所經(jīng)歷的時(shí)間；

(2)盒子上至少要開多少個(gè)小孔，才能保證小球始終不與盒子接觸；

(3)從小球第一次進(jìn)入盒子至盒子停止運(yùn)動(dòng)的過程中，盒子通過的總路程．

遞推法是利用問題本身所具有的一種遞推關(guān)系求解問題的一種方法，即當(dāng)問題中涉及相互聯(lián)系的物體或過程較多，相互作用或過程具有一定的重復(fù)性并且有規(guī)律時(shí)，應(yīng)根據(jù)題目特點(diǎn)應(yīng)用歸納的數(shù)學(xué)思想將所研究的問題歸類，然后求出通式。 具體方法是先分析某一次作用的情況，得出結(jié)論；再根據(jù)多次作用的重復(fù)性和它們的共同點(diǎn)，把結(jié)論推廣，然后結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解。用遞推法解題的關(guān)鍵是導(dǎo)出聯(lián)系相鄰兩次作用的遞推關(guān)系式。

10、一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距洞口的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)洞口的距離s₁=1m的A點(diǎn)時(shí)，速度大小為v₁=20cm/s，當(dāng)老鼠到達(dá)洞口的距離s₂=2m的A點(diǎn)時(shí)，速度大小為v₂為多少？老鼠從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間t為多少？

例題解析：

例1.[解析]　 電源的U-I圖像是經(jīng)常碰到的，由圖線與縱軸的截距容易得出電動(dòng)勢E=1.5 V，圖線與橫軸的截距0．6 A是路端電壓為0．80伏特時(shí)的電流，(學(xué)生在這里常犯的錯(cuò)誤是把圖線與橫軸的截距0．6 A當(dāng)作短路電流，而得出r=E/I_短=2.5Ω 的錯(cuò)誤結(jié)論．)故電源的內(nèi)阻為:r=△U/△I=1.2Ω.

例2.[解析]　 依題意在同一坐標(biāo)系中作出分別從A、B站由不同時(shí)刻開出的汽車做勻速運(yùn)動(dòng)的s一t圖像，如圖所示．

　從圖中可一目了然地看出：(1)當(dāng)B站汽車與A站第一輛汽車同時(shí)相向開出時(shí)，B站汽車的s一t圖線CD與A站汽車的s-t圖線有6個(gè)交點(diǎn)(不包括在t軸上的交點(diǎn))，這表明B站汽車在途中(不包括在站上)能遇到6輛從A站開出的汽車．(2)要使B站汽車在途中遇到的車最多，它至少應(yīng)在A站第一輛車開出50 min后出發(fā)，即應(yīng)與A站第6輛車同時(shí)開出此時(shí)對應(yīng)B站汽車的s-t圖線MN與A站汽車的s一t圖線共有11個(gè)交點(diǎn)(不包括t軸上的交點(diǎn))，所以B站汽車在途中(不包括在站上)最多能遇到1l輛從A站開出的車．(3)如果B站汽車與A站汽車不同時(shí)開出，則B站汽車的s-t圖線(如圖中的直線PQ)與A站汽車的s-t圖線最多可有12個(gè)交點(diǎn)，所以B站汽車在途中最多能遇到12輛車．

例3. [解析]　 由圖線可知：當(dāng)U=100 V， I=0.32 A,　 P=UI=100×0.32=32 W;

定值電阻的阻值R=100 Ω

由U_L+U_R=100 V，得：U_L+100I=100 V,　 I=

作該方程的圖線(如圖乙中直線)，它跟原圖線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為：I₁=0.29 A，U_L1=7l V；此交點(diǎn)就是燈泡的工作點(diǎn)，故燈泡消耗的實(shí)際功率：P_L1=I₁U_L1≈20W.

例4. [解析]這是一道較好的力學(xué)綜合題，涉及運(yùn)動(dòng)、力、功能關(guān)系的問題．粗看物理情景并不復(fù)雜，但題意直接給的條件不多，只能深挖題中隱含的條件．下圖表達(dá)出了整個(gè)物理過程，可以從牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)、圖像等多個(gè)角度解出，應(yīng)用圖像方法，簡單、直觀．

作出速度一時(shí)間圖像(如圖a所示)，位移為速度圖線與時(shí)間軸所夾的面積，依題意，總位移為零，即△0AE的面積與△EBC面積相等，由幾何知識(shí)可知△ADC的面積與△ADB面積相等，故△0AB的面積與△DCB面積相等(如圖b所示)．

即：(v₁×2t₀)= v₂t₀

解得：v₂=2v₁

由題意知, 　mv₂²=32J,故 mv₁²=8J,

根據(jù)動(dòng)能定理有　 W₁= mv₁²=8J, W₂= m(v₂²-v₁²)=24J

例5.[解析]在同一坐標(biāo)系中作兩物體做豎直上拋運(yùn)動(dòng)的s-t

圖像，如圖．要A、B在空中相遇，必須使兩者相對于拋

出點(diǎn)的位移相等，即要求A、B圖線必須相交，據(jù)此可從

圖中很快看出：物體B最早拋出時(shí)的臨界情形是物體B

落地時(shí)恰好與A相遇；物體B最遲拋出時(shí)的臨界情形是

物體B拋出時(shí)恰好與A相遇．故要使A、B能在空中相遇，

△t應(yīng)滿足的條件為：2v₀/g<△t<4v₀/g

　　 通過以上討論可以看到，圖像的內(nèi)涵豐富，綜合性比較強(qiáng)，而表達(dá)卻非常簡明，是物理學(xué)習(xí)中數(shù)、形、意的完美統(tǒng)一，體現(xiàn)著對物理問題的深刻理解．運(yùn)用圖像解題不僅僅是一種解題方法，也是一個(gè)感悟物理的簡潔美的過程．

例6.[解析] 可將切割磁感應(yīng)線的導(dǎo)體等效為電源按閉合電路來考慮，也可以直接用法拉第電磁感應(yīng)定律按閉合電路來考慮．

　　 當(dāng)導(dǎo)線框部分進(jìn)入磁場時(shí)，有恒定的感應(yīng)電流，當(dāng)整體全部進(jìn)入磁場時(shí)，無感應(yīng)電流，當(dāng)導(dǎo)線框部分離開磁場時(shí)，又能產(chǎn)生相反方向的感應(yīng)電流．所以應(yīng)選C．