2．I cannot find my watch；I must have l________ it.

1．I admire Einstein because he was a mathematical ________(天才)．

4．圓與圓的位置關(guān)系：依平面幾何的圓心距|O₁O₂|與兩半徑r₁ ，r₂ 的和差關(guān)系判定．

(1)設(shè)⊙O₁ 圓心O₁ ，半徑r₁ ，⊙O₂ 圓心O₂ ，半徑r₂ 則：

①當(dāng)r₁ +r₂ ＝|O₁O₂|時(shí)⊙O₁ 與⊙O₂ 外切；②當(dāng)|r₁ －r₂|＝|O₁O₂|時(shí)，兩圓相切；③當(dāng)|r₁ －r₂|＜|O₁O₂|＜r₁ +r₂ 時(shí)兩圓相交；④當(dāng)|r₁ －r₂|＞|O₁O₂|時(shí)兩圓內(nèi)含；⑤當(dāng)r₁ +r₂ ＜|O₁O₂|時(shí)兩圓外離

(2)設(shè)⊙O₁ ：x² +y² +D₁x +E₁y +F₁ ＝0，⊙O₂ ：x² +y² +D₂x +E₂y +F₂ ＝0。

①兩圓相交A 、B 兩點(diǎn)，其公共弦所在直線方程為(D₁ －D₂)x +(E₁ －E₂)y +F₁ －F₂ ＝0；

②經(jīng)過兩圓的交點(diǎn)的圓系方程為x² +y² +D₁x +E₁y +F₁ +l(x² +y² +D₂x +E₂y +F₂)＝0(不包括⊙O₂ 方程)

3．直線與圓的位置關(guān)系：l ：f₁(x ，y)＝0．圓C ：f₂(x ，y)＝0消y 得F(x₂)＝0。

(1)直線與圓相交：F(x ，y)＝0中D ＞0；或圓心到直線距離d ＜r 。

直線與圓相交的相關(guān)問題：①弦長|AB|＝·|x₁ －x₂|＝·，或|AB|＝2；②弦中點(diǎn)坐標(biāo)(，)；③弦中點(diǎn)軌跡方程。

(2)直線與圓相切：F(x)＝0中D ＝0，或d ＝r ．其相關(guān)問題是切線方程．如P(x₀ ，y₀)是圓x² +y² ＝r² 上的點(diǎn)，過P 的切線方程為x₀x +y₀y ＝r² ，其二是圓外點(diǎn)P(x₀ ，y₀)向圓到兩條切線的切線長為或；其三是P(x₀ ，y₀)為圓x² +y² ＝r² 外一點(diǎn)引兩條切線，有兩個(gè)切點(diǎn)A ，B ，過A ，B 的直線方程為x₀x +y₀y ＝r² 。

(3)直線與圓相離：F(x)＝0中D ＜0；或d ＜r ；主要是圓上的點(diǎn)到直線距離d 的最大值與最小值，設(shè)Q 為圓C ：(x －a) ² +(y －b) ² ＝r² 上任一點(diǎn)，|PQ|_max ＝|PC|+r ；|PQ|_min ＝|PQ|－r ，是利用圖形的幾何意義而不是列出距離的解析式求最值．

1．關(guān)于直線對(duì)稱問題：

(1)關(guān)于l ：Ax +By +C ＝0對(duì)稱問題：不論點(diǎn)，直線與曲線關(guān)于l 對(duì)稱問題總可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于l 對(duì)稱問題，因?yàn)閷?duì)稱是由平分與垂直兩部分組成，如求P(x₀ ，y₀)關(guān)于l ：Ax +By +C ＝0對(duì)稱點(diǎn)Q(x₁ ，y₁)．有＝－(1)與A·+B·+C ＝0。

(2)解出x₁ 與y₁ ；若求C₁ ：曲線f(x ，y)＝0(包括直線)關(guān)于l ：Ax +By +C₁ ＝0對(duì)稱的曲線C₂ ，由上面的(1)、(2)中求出x₀ ＝g₁(x₁ ，y₁)與y₀ ＝g₂(x₁ ，y₁)，然后代入C₁ ：f [g₁(x₁ ，y₁)，g₂(x₂ ，y₂)]＝0，就得到關(guān)于l 對(duì)稱的曲線C₂ 方程：f [g₁(x ，y)，g₂(x ，y)]＝0。

(3)若l ：Ax +By +C ＝0中的x ，y 項(xiàng)系數(shù)|A|＝1，|B |＝1．就可以用直接代入解之，尤其是選擇填空題。如曲線C₁ ：y² ＝4 x －2關(guān)于l ：x －y －4＝0對(duì)稱的曲線l₂ 的方程為：(x －4) ² ＝4(y +4)－2．即y 用x －4代，x 用y +4代，這樣就比較簡單了

(4)解有關(guān)入射光線與反射光線問題就可以用對(duì)稱問題來解決

點(diǎn)與圓位置關(guān)系：P(x₀ ，y₀)和圓C ：(x －a) ² +(y －b) ² ＝r²。

①點(diǎn)P 在圓C 外有(x₀ －a) ² +(y₀ －b) ² ＞r²；

②點(diǎn)P 在圓上：(x₀ －a) ² +(y₀ －b) ² ＝r²；

③點(diǎn)P 在圓內(nèi)：(x₀ －a) ² +(y₀ －b) ² ＜r² 。

題型1：直線間的位置關(guān)系

例1．(全國Ⅱ文15)已知圓O：和點(diǎn)A(1，2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于　　　　　　

[解析]由題意可直接求出切線方程為y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是5和，所以所求面積為。

[答案] 　

[總結(jié)點(diǎn)評(píng)]本題主要考查直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想方法，以及定性地分析問題和解決問題的能力.

(2)已知兩條直線若，則___　　　 _。

解析：(1)答案：；(2)2。

點(diǎn)評(píng)：(1)三點(diǎn)共線問題借助斜率來解決，只需保證；(2)對(duì)直線平行關(guān)系的判斷在一般式方程中注意系數(shù)為零的情況。

例2．已知兩條直線和互相垂直，則等于(　 )

A．2　　　　　 B．1　　　　　 C．0　　　　　　 D．

(2)(2007安徽理，7)

若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為(　　 )

A．　 B．　 C．　　 D．

解析：(1)答案為D；(2)與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為，故選A。

點(diǎn)評(píng)：直線間的垂直關(guān)系要充分利用好斜率互為負(fù)倒數(shù)的關(guān)系，同時(shí)兼顧到斜率為零和不存在兩種情況。

題型2：距離問題

例3． 將直線沿軸向左平移1個(gè)單位，所得直線與圓 相切，則實(shí)數(shù)的值為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

(A)－3或7　　　　 (B)－2或8　　　　 (C)0或10　　　　　 (D)1或11

[思路點(diǎn)撥]本題考查了平移公式、直線與圓的位置關(guān)系，只要正確理解平移公式和直線與圓相切的充要條件就可解決.

[正確解答]由題意可知：直線沿軸向左平移1個(gè)單位后的直線為：

.已知圓的圓心為，半徑為.

解法1：直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，因而有

，得或7.

解法2：設(shè)切點(diǎn)為，則切點(diǎn)滿足，即，代入圓方程整理得：， (*)

由直線與圓相切可知，(*)方程只有一個(gè)解，因而有，得或7.

解法3：由直線與圓相切，可知，因而斜率相乘得－1，即，又因?yàn)?sub>在圓上，滿足方程，解得切點(diǎn)為或，又在直線上，解得或7.

(2)(湖北文14)過原點(diǎn)O作圓x²+y^2‑－6x－8y+20=0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q，

則線段PQ的長為　　　　　　 。

[解析]可得圓方程是又由圓的切線性質(zhì)及在三角形中運(yùn)用正弦定理得.

例4。 (圓、向量與三角函數(shù))

　 設(shè)A、B為圓上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(A、O、B不共線)

　 (Ⅰ)求證：垂直.

(Ⅱ)當(dāng)時(shí).求的值.

解：(Ⅰ)由_[來源:]

　　　　　　 則

　　　　　　 則垂直

　　　 (Ⅱ)由

　　　　　　 又

　　　　　　 由

　　　　　　 即

　　　　　　　　　 =

點(diǎn)評(píng)：該題全面綜合了解析幾何、平面幾何、代數(shù)的相關(guān)知識(shí)，充分體現(xiàn)了“注重學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系”.題目的設(shè)計(jì)新穎脫俗，能較好地考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力.比較深刻地考查了解析法的原理和應(yīng)用，以及分類討論的思想、方程的思想。該題對(duì)思維的目的性、邏輯性、周密性、靈活性都進(jìn)行了不同程度的考查.對(duì)運(yùn)算、化簡能力要求也較高，有較好的區(qū)分度

題型3：直線與圓的位置關(guān)系

例5．(2009江蘇卷18)(本小題滿分16分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.

(1)若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；

(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)

解 　(1)設(shè)直線的方程為：，即

由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，

結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得：　　

化簡得：

求直線的方程為：或，即或

(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：　

，即：

因?yàn)橹本�被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。

由垂徑定理，得：：圓心到直線與直線的距離相等�！�

故有：，

化簡得：

關(guān)于的方程有無窮多解，有：　　

解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。

例6．已知圓M：(x+cosq)²+(y－sinq)²＝1，直線l：y＝kx，下面四個(gè)命題：

(A)　　　 對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M相切；

(B)　　　 對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點(diǎn)；

(C)　　 對(duì)任意實(shí)數(shù)q，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與和圓M相切；

(D)對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)q，使得直線l與和圓M相切

其中真命題的代號(hào)是______________(寫出所有真命題的代號(hào))

解析：圓心坐標(biāo)為(－cosq，sinq)

d＝

故選(B)(D)

點(diǎn)評(píng)：該題復(fù)合了三角參數(shù)的形式，考察了分類討論的思想。

題型4：直線與圓綜合問題

例7．(江西理16)．設(shè)直線系,對(duì)于下列四個(gè)命題：

　．中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

　．存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上

　．對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形,其所有邊均在中的直線上

　．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

其中真命題的代號(hào)是　　　　　　　　　　 (寫出所有真命題的代號(hào))．

[解析]因?yàn)?sub>所以點(diǎn)到中每條直線的距離

即為圓:的全體切線組成的集合,從而中存在兩條平行直線,

所以A錯(cuò)誤；

又因?yàn)?sub>點(diǎn)不存在任何直線上,所以B正確；　　　　　　

對(duì)任意,存在正邊形使其內(nèi)切圓為圓,故正確；

中邊能組成兩個(gè)大小不同的正三角形和,故D錯(cuò)誤,

故命題中正確的序號(hào)是 B,C.

[答案]　

例8．(江西理16)．設(shè)直線系,對(duì)于下列四個(gè)命題：

　．中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

　．存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上

　．對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形,其所有邊均在中的直線上

　．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

其中真命題的代號(hào)是　　　　　　　　　　 (寫出所有真命題的代號(hào))．

[解析]因?yàn)?sub>所以點(diǎn)到中每條直線的距離

即為圓:的全體切線組成的集合,從而中存在兩條平行直線,

所以A錯(cuò)誤；

又因?yàn)?sub>點(diǎn)不存在任何直線上,所以B正確；　　　　　　

對(duì)任意,存在正邊形使其內(nèi)切圓為圓,故正確；

中邊能組成兩個(gè)大小不同的正三角形和,故D錯(cuò)誤,

故命題中正確的序號(hào)是 B,C.

[答案]　

例9．(江西理16)．設(shè)直線系,對(duì)于下列四個(gè)命題：

　．中所有直線均經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)

　．存在定點(diǎn)不在中的任一條直線上

　．對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形,其所有邊均在中的直線上

　．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等

其中真命題的代號(hào)是　　　　　　　　　　 (寫出所有真命題的代號(hào))．

[解析]因?yàn)?sub>所以點(diǎn)到中每條直線的距離

即為圓:的全體切線組成的集合,從而中存在兩條平行直線,

所以A錯(cuò)誤；

又因?yàn)?sub>點(diǎn)不存在任何直線上,所以B正確；　　　　　　

對(duì)任意,存在正邊形使其內(nèi)切圓為圓,故正確；

中邊能組成兩個(gè)大小不同的正三角形和,故D錯(cuò)誤,

故命題中正確的序號(hào)是 B,C.

[答案]　

例10．已知函數(shù)f(x)=x²－1(x≥1)的圖像為C₁，曲線C₂與C₁關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

(1)求曲線C₂的方程y=g(x)；

(2)設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)镸，x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，求證|g(x₁)－g(x₂)|<|x₁－x₂|;

(3)設(shè)A、B為曲線C₂上任意不同兩點(diǎn)，證明直線AB與直線y=x必相交。

解析：(1)曲線C₁和C₂關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則g(x)為f(x)的反函數(shù)。

∵y=x²－1，x²=y+1，又x≥1，∴x=，則曲線C₂的方程為g(x)= (x≥0)。

(2)設(shè)x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，則x₁－x₂≠0。又x₁≥0， x₂≥0，

∴|g(x₁)－g(x₂)|=| �。�|=≤<|x₁－x₂|。

(3)設(shè)A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)為曲線C₂上任意不同兩點(diǎn)，x₁，x₂∈M，且x₁≠x₂，

由(2)知，|k_AB|=||=<1

∴直線AB的斜率|k_AB|≠1，又直線y=x的斜率為1，∴直線AB與直線y=x必相交。

點(diǎn)評(píng)：曲線對(duì)稱問題應(yīng)從方程與曲線的對(duì)應(yīng)關(guān)系入手來處理，最終轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

題型6：軌跡問題

例11．已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中。

(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

(II)設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：(I)如圖，設(shè)為動(dòng)圓圓心，為記為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知：即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為；

(II)如圖，設(shè)，由題意得(否則)且所以直線的斜率存在，設(shè)其方程為，顯然，將與聯(lián)立消去，得由韋達(dá)定理知①

(1)當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由①知：所以。因此直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點(diǎn)。

(2)當(dāng)時(shí)，由，

得==，

將①式代入上式整理化簡可得：，所以，

此時(shí)，直線的方程可表示為即，所以直線恒過定點(diǎn)。

所以由(1)(2)知，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：該題是圓與圓錐曲線交匯題目，考察了軌跡問題，屬于難度較大的綜合題目。

例12．如圖，圓與圓的半徑都是1，. 過動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線(分別為切點(diǎn))，使得. 試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

解析：以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，。

由已知，得。

因?yàn)閮蓤A半徑均為1，所以。

設(shè)，則，

即(或)。

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查求軌跡方程的方法及基本運(yùn)算能力

題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題

例13．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，求的最大值與最小值。

解析：表示過點(diǎn)A(0，－1)和圓上的動(dòng)點(diǎn)(x，y)的直線的斜率。

如下圖，當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率分別取得最大值和最小值

設(shè)切線方程為，即，則，解得。

因此，

點(diǎn)評(píng)：直線知識(shí)是解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，靈活運(yùn)用直線知識(shí)解題具有構(gòu)思巧妙、直觀性強(qiáng)等特點(diǎn)，對(duì)啟迪思維大有裨益。下面舉例說明其在最值問題中的巧妙運(yùn)用

例14．設(shè)雙曲線的兩支分別為，正三角形PQR的三頂點(diǎn)位于此雙曲線上。若在上，Q、R在上，求頂點(diǎn)Q、R的坐標(biāo)

　　　 分析：正三角形PQR中，有， 則以為圓心，為半徑的圓與雙曲線交于R、Q兩點(diǎn)。

　　　 根據(jù)兩曲線方程可求出交點(diǎn)Q、R坐標(biāo)

　　　 解析：設(shè)以P為圓心，為半徑的圓的方程為：，

　　　 由得：�！　� (其中，可令進(jìn)行換元解之)

　　　 設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則。

　　　 即，

同理可得：，　 且因?yàn)椤鱌QR是正三角形，則，

　　　 即，得。

　　　 代入方程，即。

　　　 由方程組，得：或，

　　　 所以，所求Q、R的坐標(biāo)分別為

點(diǎn)評(píng)：圓是最簡單的二次曲線，它在解析幾何及其它數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。對(duì)一些數(shù)學(xué)問題，若能作一個(gè)輔助圓，可以溝通題設(shè)與結(jié)論之間的關(guān)系，從而使問題得解，起到鋪路搭橋的作用

4．兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為O₁，O₂，半徑分別為r₁，r₂，。

；

；

；

；

；

外離　　　　　　　　　　　　　　　　 外切

　　　　　　　 相交　　　　　　　　　　　 內(nèi)切　　　　　　　　　　 內(nèi)含

判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系也可以通過聯(lián)立方程組判斷公共解的個(gè)數(shù)來解決

3．直線與圓的位置關(guān)系有三種

(1)若，；

(2)；

(3)。

還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組求解，通過解的個(gè)數(shù)來判斷：

(1)當(dāng)方程組有2個(gè)公共解時(shí)(直線與圓有2個(gè)交點(diǎn))，直線與圓相交；

(2)當(dāng)方程組有且只有1個(gè)公共解時(shí)(直線與圓只有1個(gè)交點(diǎn))，直線與圓相切；

(3)當(dāng)方程組沒有公共解時(shí)(直線與圓沒有交點(diǎn))，直線與圓相離；

即：將直線方程代入圓的方程得到一元二次方程，設(shè)它的判別式為Δ，圓心C到直線l的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系滿足以下關(guān)系：

相切d=rΔ＝0；

相交d<rΔ>0；

相離d>rΔ<0。

2． 距離

(1)兩點(diǎn)間距離：若，則

特別地：軸，則、軸，則。

(2)平行線間距離：若，

　　　　　　　　 則：。注意點(diǎn)：x，y對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等

(3)點(diǎn)到直線的距離：，則P到l的距離為：

1．直線l₁與直線l₂的的平行與垂直

(1)若l₁，l₂均存在斜率且不重合：

①l₁//l₂ k₁=k₂；②l₁l₂ k₁k₂=－1。

(2)若

　 若A₁、A₂、B₁、B₂都不為零。

①l₁//l₂；

②l₁l₂ A₁A₂+B₁B₂=0；

③l₁與l₂相交；

④l₁與l₂重合；

注意：若A₂或B₂中含有字母，應(yīng)注意討論字母=0與0的情況。兩條直線的交點(diǎn):兩條直線的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個(gè)數(shù)