2．設(shè)函數(shù)，則=　　　　　　　 　。

1．若函數(shù)的定義域為[－1，2]，則函數(shù)的定義域是　　　　　　　 　。

6.求下列極限：

解：原式=.

5.數(shù)列{a_n}滿足［(2n－1)a_n］=2.求 (na_n)

解： (na_n)= ［(2n－1)a_n·］=［(2n－1)a_n］·

=2·.

4. (m，n∈N^*，n正奇數(shù))

解：方法一：

因為這里的m，n是確定數(shù)，不是無限數(shù)，所以在分母上，可以用函數(shù)極限的四則運算法則.

方法二：設(shè)=y，則x= (yⁿ－1)

當(dāng)x→0時，y→1.　

∴

3. (m，n為自然數(shù))

解：

當(dāng)n－m＞0時，即n＞m =0

當(dāng)n－m=0時，即n=m　 =1

當(dāng)n－m＜0時，即n＜m　 不存在.

∴當(dāng)n＞m時，=0；當(dāng)n=m時，=1；

當(dāng)n＜m時，不存在.

2.

解：

1． 　

解：

∴

解：(2)

要使極限存在1－a²=0.

∴

即1+2ab=0，a+1≠0.

∴

解：(3)

當(dāng)x→1時極限存在，則分子、分母必有公因式x－1.　∴a－b²=－1

∴原式=

∴

說明：第一題是分子分母同除以x的較低的冪，第二題是分子有理化，和第一題的方法相結(jié)合，第三題是因式分解法和分子有理化法相結(jié)合.

我們以前求極限的一種方法是分子、分母同除x的最高次冪，但像第一題，因為分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，如果分子除以x²，則分子極限為0，不符合，所以通分后，應(yīng)除以分子分母中x的較低次冪.并且x的次數(shù)比分子x的最高次冪大的項的系數(shù)應(yīng)該等于0，這樣極限才存在.

例3　f(x)=求a，使f(x)存在.

解：要使f(x)存在，則f(x)與f(x)要存在且相等.

f(x)= 　(2x²－3)=2·2²－3=5.

f(x)= 　(3x²+a)=3·2²+a=12+a.

∴5=12+a.∴a=－7

例4設(shè)函數(shù)f(x)=，在x=0處連續(xù)，求a，b的值.

分析：要使f(x)在x=0處連續(xù)，就要使f(x)在x=0處的左、右極限存在，并且相等，等于f(x)在x=0處的值a.

解：f(x)=·(－1)

f(x)=(2x+1)=2·0+1=1

∴

說明：這類連續(xù)的題目，也關(guān)鍵是求在一點處的左、右極限存在并都等于在這點的函數(shù)值，與函數(shù)在這點的極限存在的方法是相同的

例1　 已知數(shù)列…

(1)計算S₁，S₂，S₃，S₄.

(2)猜想S_n的表達式，并證明.

(3)S_n.

解：(1)S₁=.

S₂=

S₃=

S₄=.

(2 )解：通項是以3n－2，3n+1兩數(shù)乘積為分母的，而我們看到，在表示上面四個結(jié)果的分數(shù)中，分子可用項數(shù)n表示，分母可用3n+1表示，于是可猜想.

S_n=

證明方法一:用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

1°　 當(dāng)n=1時，S₁=等式成立.

2°　 假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立.即 S_k=.

當(dāng)n=k+1時.

∴當(dāng)n=k+1時，等式也成立.

∴S_n= (n∈N^*)

證明方法二：

∴

∴S_n=

(3)解:

例2　已知下列極限，求a與b.

(1)

(2)

(3)

分析：此題屬于已知x趨向于x₀(或無窮大)時，函數(shù)的極限存在且等于某個常數(shù)，求函數(shù)關(guān)系式的類型.上邊三個小題都不能簡單地將x=x₀直接代入函數(shù)的解析式中，因為(1)(2)中的x不趨于確定的常數(shù)，(3)雖然趨于1，但將x=1代入函數(shù)關(guān)系式中，分母為零.因此，解決此類問題的關(guān)鍵，是先要確定用哪種方法求極限，再將函數(shù)的解析式進行適當(dāng)?shù)淖冃�，然后根�?jù)所給的條件進行分析，進而確定a，b的值.

解：(1)

1°　 如果1－a≠0，

∵

∴不存在.

2° 如果 1－a=0，

∵