2.導數(shù)的幾何意義.

1.曲線的切線及切線的斜率.

2.求曲線在點處的切線.

1.求曲線在點處的切線.

例1 (1)求曲線在點處的切線方程.

(2)求函數(shù)在點處的導數(shù).

解: (1)

所以,所求切線的斜率為

因此,所求的切線方程為即

(2)因為

所以,所求切線的斜率為,

因此,所求的切線方程為即

例2 如圖3.1-3,它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù),根據(jù)圖像,請描述、比較曲線在、、附近的變化情況.

解: 我們用曲線在、、處的切線,

刻畫曲線在上述三個時刻附近的變化情況.

(1)　 當時,曲線在處的切線平行于軸,

所以,在附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降.

(2)當時,曲線在處的切線的斜率,

所以,在附近曲線下降,

即函數(shù)在附近單調(diào)遞減.

(3)當時,曲線在處的切線的斜率,

所以,在附近曲線下降,

即函數(shù)在附近單調(diào)遞減．

從圖3.1-3可以看出,直線的傾斜程度小于直線的傾斜程度,

這說明曲線在附近比在附近下降的緩慢.

例3 如圖3.1-4,它表示人體血管中藥物濃度(單位:)隨時間(單位:)變化的圖象.根據(jù)圖像,估計時,血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到).

解: 血管中某一時刻藥物濃度的瞬時變化率,就是藥物濃度在此時刻的導數(shù),

從圖像上看,它表示曲線在此點處的切線的斜率.

如圖3.1-4,畫出曲線上某點處的切線,利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率,

可以得到此時刻藥物濃度瞬時變化率的近似值.

作處的切線,并在切線上去兩點,如,,

則它的斜率為,所以

下表給出了藥物濃度瞬時變化率的估計值:

	0.2	0.4	0.6	0.8
藥物濃度瞬時變化率	0.4	0	-0.7	-1.4

(四)函數(shù)在點處的導數(shù)、導函數(shù)、導數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系

(1)函數(shù)在一點處的導數(shù),就是在該點的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限,它是一個常數(shù),不是變數(shù).

(2)函數(shù)的導數(shù),是指某一區(qū)間內(nèi)任意點而言的,就是函數(shù)的導函數(shù).

(3)函數(shù)在點處的導數(shù)就是導函數(shù)在處的函數(shù)值,這也是求函數(shù)在點處的導數(shù)的方法之一.

(三)導函數(shù)

由函數(shù)在處求導數(shù)的過程可以看到,當時,是一個確定的數(shù),那么,當變化時,便是的一個函數(shù),我們叫它為的導函數(shù).

記作:或,即.

注: 在不致發(fā)生混淆時,導函數(shù)也簡稱導數(shù).

(二)導數(shù)的幾何意義

函數(shù)在處的導數(shù)等于在該點處的切線的斜率,

即

說明: 求曲線在某點處的切線方程的基本步驟:

①求出點的坐標;

②求出函數(shù)在點處的變化率得到曲線在點的切線的斜率;

③利用點斜式求切線方程.

(一)曲線的切線及切線的斜率

如圖3.1-2,當沿著曲線趨近于點時,割線的變化趨勢是什么？

我們發(fā)現(xiàn),當點沿著曲線無限接近點即時,割線趨近于確定的位置,這個確定位置的直線稱為曲線在點處的切線.

問題: (1)割線的斜率與切線的斜率有什么關(guān)系？

　　　 (2)切線的斜率為多少？

容易知道,割線的斜率是,當點沿著曲線無限接近點時,無限趨近于切線的斜率,即

說明: (1)設(shè)切線的傾斜角為,

那么當時,割線的斜率,稱為曲線在點處的切線的斜率.

這個概念: ①提供了求曲線上某點切線的斜率的一種方法;

　　　　 ②切線斜率的本質(zhì)-函數(shù)在處的導數(shù).

(2)曲線在某點處的切線:

1)與該點的位置有關(guān);

2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解.如有極限,則在此點有切線,且切線是唯一的;如不存在,則在此點處無切線;

3)曲線切線,并不一定與曲線只有一個交點,可以有多個,甚至可以無窮多.

(二)瞬時速度、導數(shù)

我們知道,導數(shù)表示函數(shù)在處的瞬時變化率,反映了函數(shù)在附近的變化情況,導數(shù)的幾何意義是什么呢？