35．(全國卷I)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。

(Ⅰ)求一個試驗組為甲類組的概率；

(Ⅱ)觀察3個試驗組，求這3個試驗組中至少有一個甲類組的概率。

解: (1)設A_i表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依題意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = , 所求概率為: P=P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)

= × + × + × =

(Ⅱ)所求概率為: P=1－(1－)³=

34．(全國卷I)A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗。每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗組為甲類組。設每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。

(Ⅰ)求一個試驗組為甲類組的概率；

(Ⅱ)觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望。

解: (1)設A_i表示事件“一個試驗組中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

B_i表示事件“一個試驗組中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,

依題意有: P(A₁)=2×× = , P(A₂)= × = . P(B₀)= × = ,

P(B₁)=2× × = , 所求概率為: P=P(B₀·A₁)+P(B₀·A₂)+P(B₁·A₂)

= × + × + × =

(Ⅱ)ξ的可能值為0,1,2,3且ξ~B(3,) . P(ξ=0)=()³= , P(ξ=1)=C₃¹××()²=,

P(ξ=2)=C₃²×()²× = 　 , P(ξ=3)=( )³=

ξ的分布列為:

33．(遼寧卷)甲、乙兩班各派2名同學參加年級數(shù)學競賽，參賽同學成績及格的概率都為0.6，且參賽同學的成績相互之間沒有影響，求：

(1)甲、乙兩班參賽同學中各有1名同學成績及格的概率；

(2)甲、乙兩班參賽同學中至少有1名同學成績及格的概率．

本小題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法等基礎(chǔ)知識，考查學生運用概率知識解決實際問題的能力.

解：(Ⅰ)甲班參賽同學恰有1名同學成績及格的概率為

乙班參賽同學中恰有一名同學成績及格的概率為

故甲、乙兩班參賽同學中各有1名同學成績幾個的概率為

(Ⅱ)解法一：甲、乙兩班4名參賽同學成績都不及格的概率為

故甲、乙兩班參賽同學中至少有一名同學成績都不及格的概率為

解法二：甲、乙兩班參賽同學成績及格的概率為

甲、乙兩班參賽同學中恰有2名同學成績及格的概率為

甲、乙兩班參賽同學中恰有3名同學成績及格的概率為

甲、乙兩班4同學參賽同學成績都及格的概率為

故甲、乙兩班參賽同學中至少有1名同學成績及格的概率為

32．(遼寧卷)現(xiàn)有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項目的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān),在每次調(diào)整中價格下降的概率都是,設乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進行2次獨立的調(diào)整,記乙項目產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為,對乙項目每投資十萬元, 取0、1、2時, 一年后相應利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機變量、分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤.

(I)　 求、的概率分布和數(shù)學期望、;

(II)　 當時,求的取值范圍.

[解析](I)解法1: 的概率分布為

	1.2	1.18	1.17
P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

由題設得,則的概率分布為

	0	1	2
P

故的概率分布為

	1.3	1.25	0.2
P

所以的數(shù)學期望為

E=++=.

解法2: 的概率分布為

	1.2	1.18	1.17
P

E=1.2+1.18+1.17=1.18.

設表示事件”第i次調(diào)整,價格下降”(i=1,2),則

P(=0)= ;

P(=1)=;

P(=2)=

故的概率分布為

	1.3	1.25	0.2
P

所以的數(shù)學期望為

E=++=.

(II)　 由,得:

因0<p<1,所以時,p的取值范圍是0<p<0.3.

[點評]本小題考查二項分布、分布列、數(shù)學期望、方差等基礎(chǔ)知識,考查同學們運用概率知識解決實際問題的能力.

31．(江西卷)某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球獲得二得獎；摸出兩個紅球獲得一等獎．現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次．求

(1)甲、乙兩人都沒有中獎的概率；

(2)甲、兩人中至少有一人獲二等獎的概率．

解:(1)

(2)方法一：

方法二：

方法三：

30．(江西卷)某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9個白球，1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出2個紅球可獲得獎金50元，現(xiàn)有甲，乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令x表示甲，乙摸球后獲得的獎金總額。求：

(1)x的分布列　

(2)x的的數(shù)學期望

解:(1)的所有可能的取值為0,10,20,50,60.

分布列為

x	0	10	20	50	60
P

(元)

29．(湖南卷)某安全生產(chǎn)監(jiān)督部門對5家小型煤礦進行安全檢查(簡稱安檢).若安檢不合格,則必須進行整改.若整改后經(jīng)復查仍不合格,則強行關(guān)閉.設每家煤礦安檢是否合格是相互獨立的,且每家煤礦整改前安檢合格的概率是0.5, 整改后安檢合格的概率是0.8,計算(結(jié)果精確到0.01):

(Ⅰ)恰好有兩家煤礦必須整改的概率;

(Ⅱ)平均有多少家煤礦必須整改;

(Ⅲ)至少關(guān)閉一家煤礦的概率.

解：(Ⅰ)．每家煤礦必須整改的概率是1－0.5，且每家煤礦是否整改是相互獨立的.

所以恰好有兩家煤礦必須整改的概率是.

(Ⅱ)．由題設，必須整改的煤礦數(shù)服從二項分布B(5,0.5).從而的數(shù)學期望是　　　 E＝，即平均有2.50家煤礦必須整改.

(Ⅲ)．某煤礦被關(guān)閉，即該煤礦第一次安檢不合格，整改后經(jīng)復查仍不合格，所以該煤礦被關(guān)閉的概率是，從而該煤礦不被關(guān)閉的概率是0.9.由題意，每家煤礦是否被關(guān)閉是相互獨立的，所以至少關(guān)閉一家煤礦的概率是

28．(湖北卷)某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加了其中一組。在參加活動的職工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%。登山組的職工占參加活動總?cè)藬?shù)的，且該組中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%。為了了解各組不同的年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現(xiàn)用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本。試確定

(Ⅰ)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別所占的比例；

(Ⅱ)游泳組中，青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數(shù)。

本小題主要考查分層抽樣的概念和運算，以及運用統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。

解：(Ⅰ)設登山組人數(shù)為，游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為a、b、c，則有，解得b=50%,c=10%.

故a=100%－50%－10%=40%,即游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、

50%、10%。

(Ⅱ)游泳組中，抽取的青年人數(shù)為(人)；抽取的中年人數(shù)為

50%＝75(人)；抽取的老年人數(shù)為10%＝15(人)。

27．(湖北卷)在某校舉行的數(shù)學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布。已知成績在90分以上(含90分)的學生有12名。

(Ⅰ)、試問此次參賽學生總數(shù)約為多少人？

(Ⅱ)、若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，試問設獎的分數(shù)線約為多少分？

可共查閱的(部分)標準正態(tài)分布表

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.2 1.3 1.4 1.9 2.0 2.1	0.8849 0.9032 0.9192 0.9713 0.9772 0.9821	0.8869 0.9049 0.9207 0.9719 0.9778 0.9826	0.888 0.9066 0.9222 0.9726 0.9783 0.9830	0.8907 0.9082 0.9236 0.9732 0.9788 0.9834	0.8925 0.9099 0.9251 0.9738 0.9793 0.9838	0.8944 0.9115 0.9265 0.9744 0.9798 0.9842	0.8962 0.9131 0.9278 0.9750 0.9803 0.9846	0.8980 0.9147 0.9292 0.9756 0.9808 0.9850	0.8997 0.9162 0.9306 0.9762 0.9812 0.9854	0.9015 0.9177 0.9319 0.9767 0.9817 0.9857

點評：本小題主要考查正態(tài)分布，對獨立事件的概念和標準正態(tài)分布的查閱，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力。

解：(Ⅰ)設參賽學生的分數(shù)為，因為-N(70，100)，由條件知，

P(≥90)＝1－P(<90)＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

這說明成績在90分以上(含90分)的學生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28%，因此，

參賽總?cè)藬?shù)約為≈526(人)。

(Ⅱ)假定設獎的分數(shù)線為x分，則P(≥x)＝1－P(<x)＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故設獎得分數(shù)線約為83.1分。

26．(廣東卷)某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下：

	6	7	8	9	10
	0

現(xiàn)進行兩次射擊，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為.

　(I)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率

(II)求的分布列

解：(Ⅰ)求該運動員兩次都命中7環(huán)的概率為；

(Ⅱ) 的可能取值為7、8、9、10

分布列為

	7	8	9	10
P	0.04	0.21	0.39	0.36

(Ⅲ) 的數(shù)學希望為.